Проверка гипотезы о равенстве средних

Используется для проверки предположения о том, что средние значения двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязанных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связаны, то предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить, какой из критериев использовать. Так же как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи., которые рассмотрим на примере.

ПРИМЕР 3. Имеются данные о средненедельных количествах продаж товара (тыс. шт.) до и после смены производителем оформления упаковки.

Можно ли с вероятностью 0,99 считать, что смена упаковки привела к среднему увеличению количества продаж?

По условию р =0,99, a=0,01, выборки не связаны, критерий односторонний, т.к. нужно показать, что средние показателя, представленного второй выборкой, больше чем у первой. Вводим в ячейки А1-М1 и А2-L2 исходные данные. Т.к. выборки несвязаны, то предварительно сравниваем дисперсии (сделать это самостоятельно аналогично предыдущему примеру из п. 2 любым способом). В результате проверки дисперсии оказываются равными.

Первый способ решения задачи, как и в случае дисперсий, использовать стандартную функцию. Ею является ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип), решающий задачу по t-критерию Стьюдента. В ячейке В4 вводим подпись «t-критерий», а в соседнюю С4 функцию ТТЕСТ (категория «Статистические») Аргументы функции:

- массив1, массив2 – исходные данные (ссылки на А1-М1 и А2-L2);

- хвосты – вид критерия: если 1 – односторонний критерий, если 2 – двусторонний (в нашем случае ставится единица);

- тип – тип критерия: если выборки связаны, то 1, для несвязанных выборок с равными дисперсиями –2, для несвязанных выборок с неравными дисперсиями – 3 (выбираем 2).

Функция возвращает критическое значение уровня значимости, имеющего смысл ошибиться, приняв гипотезу о различии средних. Если критическое значение больше заданного, то средние нужно считать равными. Результат в нашем случае 0,0476828 больше заданного . Следовательно, смена производителем упаковки не привела к среднему увеличению продаж и изменения в количествах продаж, вероятнее всего, связано с какими-то случайными факторами.

Второй способ – использовать пакет «Анализ данных». Способ вызова и подключения его был описан в п.2. В зависимости от типа критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для средних» – для связанных выборок, и «Двухвыборочный t-тест с одинаковыцми дисперсиями» или «Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями» - для несвязанных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные (А1-М1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустым. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в появившееся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. Вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборок, t-статистику, критические значения этих статистик и критические уровни значимости «P(T<=t) одностороннее» и «P(T<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае |-1,739215668| < 2,499873517, следовательно, среднее число продаж значимо не увеличилось. Следует отметить, что если взять уровень значимости a=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.

Задание на самостоятельную работу

Задание 1. При производстве микросхем процессоров используются кристаллы кварца. Стандартом предусмотрено, чтобы у 50 % образцов не было обнаружено ни одного дефекта кристаллической структуры, у 15% - один дефект, у 13 % - 2 дефекта, у 12 % - 3 дефекта, у 10 % более 3 дефектов. При анализе выборочной партии оказалось, что из 1000 экземпляров распределение по дефектам следующее (вариант соответствует номеру ЭВМ):

Можно ли с вероятностью 0,99 считать, что партия соответствует стандарту?

Задание 2. Четыре станка в цеху обрабатывают детали. Для проверки точности обработки. взяли выборки размеров деталей у каждого станка. Необходимо сравнить с помощью F-теста попарно точности обработки всех станков (рассмотреть пары 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) и сделать вывод, для каких станков точности обработки (дисперсии) равны, для каких нет. Взять уровень значимости .

Задание 3. Имеются данные о количествах продаж товара в двух городах. Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.