Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

Цель: научиться определять целесообразность построения кусочно-линейной модели тенденции временного ряда, учитывающие его структурные изменения, с помощью теста Чоу, и строить соответствующие модели.

Пример. Развивающееся предприятие «Альфа» в течении 13 месяцев своего существования постоянно увеличивало свою прибыль, которая за это время выросла почти вдвое. Однако, на 14-м месяце существования удалось получить дополнительное инвестирование и закупить современное оборудование, после чего темпы роста прибыли заметно увеличились. Имеется временной ряд прибыли предприятия за 25 месяцев. С помощью теста Чоу проверить на уровне значимости предположение о том, какая модель тенденции лучше описывает временной ряд: общая линейная модель тенденции, построенная по всем 25 месяцем ряда, или кусочно-линейная, состоящая из двух линейных моделей, построенных по первым 14 и последующим 11 периодом времени. Методами регрессионного анализа построить эти модели.

Решение. Открываем новую книгу EXCEL, вводим в А1 подпись «t=», а в ячейку В2 подпись «Y=», затем в ячейки А2-А26 вводим номера месяцев 1,2,3,…,25, а в ячейки В2-В26 – значения прибыли из приведенной выше таблицы. Для удобства построения кусочно-линейной модели, выделим ячейки А2-D15 в какой-нибудь свет, например в желтый, а ячейки А16-D26 в другой цвет, например в розовый. Проверим по критерию Чоу целесообразность построения кусочно-линейной модели. Для этого с помощью функции ЛИНЕЙН рассчитаем параметры моделей.

Сначала рассчитаем параметры общей линейной модели. Для этого вводим в F1 подпись «Общая линейная» и ниже, в F2 вводим функцию =ЛИНЕЙН(B2:B26;A2:A26;1;1). Выделяем мышью ячейки от F2 до G6 и нажимаем сначала F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу из 2 столбцов и 5 строк параметров модели. Нас интересуют значения коэффициентов общего линейного уравнения тенденции , которые записаны в первой строке. В результате, общее уравнение линейной тенденции имеет вид: . Кроме того, для критерия Чоу нужно знать суммы квадратов остатков регрессионной модели. Эти значения записаны в нижнем правом углу матрицы, выдаваемой функцией линейн. Для общей модели остаточная сумма равна .

Находим параметры первой и второй части кусочно-линейной модели. Вводим в ячейку F8 подпись «Кусочно-линейная 1» и в ячейку F9 вводим формулу =ЛИНЕЙН(B2:B15;A2:A15;1;1). Выделяем мышью ячейки от F9 до G13 и нажимаем сначала F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Видно, что уравнение регрессии есть , а остаточная сумма . Затем вводим в ячейку F15 подпись «Кусочно-линейная 2» и в ячейку F16 вводим формулу =ЛИНЕЙН(B16:B26;A16:A26;1;1). Выделяем мышью ячейки от F16 до G20 и нажимаем сначала F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Видно, что уравнение регрессии второй части кусочно-линейной модели есть , а остаточная сумма . Статистика критерия Чоу для парной регрессионной модели вычисляется по формуле: , где п – число уровней ряда (в данном случае – число месяцев, равно 25). Вводим в ячейку I1 подпись «Статистика», а в G1 – формулу =(G6-G13-G20)/(G13+G20)*21/2. Критическое значение равно значению обратного распределения Фишера, полученного по параметрам: - уровень значимости, указан в условии задачи; k =2 – степени свободы 1, равные числу параметров модели (у нас из 2: a и b, т.к. уравнение регрессии ); = 21 – степени свободы 2, равные 21. Вводим в I2 подпись «Критическое», а в G2 формулу =FРАСПОБР(0,05;2;21). Видно, что статистика больше критического значения, что говорит о том, что кусочно-линейная функция лучше описывает временной ряд, чем общая модель.

Строим кусочно-линейную модель. Вводим в С1 подпись «Линейная», а в С2 вводим функцию =ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B26; A2:A26; A2:A26; 1), выделяем диапазон С2-С26 и нажимаем F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Вводим в ячейку D1 подпись «Кусочно-линейная», а в ячейку D2 вводим формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B15;A2:A15;A2:A15;1), выделяем диапазон D2-D15 и нажимаем F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Затем, для построения второй ветви линейного уравнения вводим в ячейку D16 вводим формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B16:B26;A16:A26;A16:A26;1), выделяем диапазон D16-D26 и нажимаем F2 а затем Ctrl+Shift+Enter. Построим график по полученным данным. Ставим курсор в свободную ячейку, вызываем мастер функций, выбираем тип «График», вид график без точек в верхнем левом углу, нажимаем «Далее», переводим курсор в поле «Диапазон» и обводим ячейки В2-D26. переходим на закладку «Ряд», щелкаем мышкой по надписи «Ряд 1» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст «Данные», затем щелкаем мышкой по надписи «Ряд 2» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст «Линейная», после чего щелкаем мышкой по надписи «Ряд 3» и в поле «Имя» и вводим текст «Кусочно-линейная», нажимаем «Готово».

Рассмотрим другой метод построения модели с переменной структурой. Для этого воспользуемся фиктивной переменной. Пусть Z – фиктивная переменная, которая принимает значения:

Тогда общая регрессионная модель примет вид: . Для определения параметров модели , сформируем исходные данные в следующем виде. Переходим на Лист 2. В ячейки A1, B1, C1, D1 вводим подписи «Y», «t», «Z», «Zt» (кавычки не вводить).

В первый столбец копируем значения уровней временного ряда. Для этого переходим на Лист 1, выделяем ячейки В2-В26, выполняем ПРАВКА/КОПИРОВАТЬ. Затее переходим обратно на Лист 2, ставим курсор в А2 и даем команду ПРАВКА/ВСТАВИТЬ.

Во второй столбец Листа 2 (ячейки В2-В26) копируем ячейки А2-А26 из Листа 1. В столбец С Листа 2 вводим значения переменной Z. В ячейки С2-С15 вводим число 0. В ячейки С16-С26 вводим число 1. В столбец D вводим произведение переменных . Ставим курсор в D2 и вводим формулу =B2*C2. Автозаполняем формулу на D2-D26. Строим линейную регрессионную модель. Для этого в Е2 вводим формулу (категория «Статистические»): =ТЕНДЕНЦИЯ(A2:A26;B2:D26;B2:D26;1)

и обводим диапазон Е2-Е26, нажимаем клавишу F2, затем одновременно Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем модель линейной регрессии. Вычислим ее числовые характеристики. Для этого в G2 вводим функцию:

=ЛИНЕЙН(A2:A26;B2:D26;1;1)

выделяя, обводим ячейки G2-J6, нажимаем F2, затем Ctrl+Shift+Enter. Проверяем адекватность полеченной модели. Видно, что коэффициент детерминации равен 0,99 (ячейка G4), что говорит об очень высокой качестве регрессии.

Строим график регрессионной модели. Ставим курсор в свободную ячейку, вызываем мастер функций, выбираем тип «График», вид график без точек в верхнем левом углу, нажимаем «Далее», переводим курсор в поле «Диапазон» и обводим ячейки A2-A26, затем, удерживая Ctrl, обводим еще и диапазон Е2-Е26. Переходим на закладку «Ряд», щелкаем мышкой по надписи «Ряд 1» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст «Данные», затем щелкаем мышкой по надписи «Ряд 2» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст «Модель», нажимаем «Готово».

Задание 1. Крупная акционерная компания выпустила дополнительный пакет акций, которые быстро стали расти в цене и за полтора месяца выросли в несколько раз. Однако через 18 месяцев после начала выпуска акций, конкурирующая компания провела финансовую реформу, которая привела к некоторому замедлению подорожания акций. Проверить на уровне значимости с помощью теста Чоу гипотезу о том, что после 18 месяца произошли изменения структуры ряда. Построить модель тенденции временного ряда за 35 месяцев либо линейной либо кусочно-линейной аналитической функцией.