2015-05-18
769
У диэлектриков валентная зона полностью заполнена электронами и отделена от зоны проводимости запретной зоной, ширина которой DW > kT. В зоне проводимости электронов нет, так как энергии теплового движения недостаточно для перевода их из валентной зоны в зону проводимости. При наложении внешнего электрического поля электроны, находящиеся в валентной зоне, не могут прийти в направленное движение, так как при этом их энергия должна возрасти и, следовательно, должны осуществляться переходы на более высокие подуровни. Однако все подуровни энергии в валентной зоне заняты электронами, поэтому в силу принципа Паули такие переходы запрещены.
Единственная возможность для возникновения тока проводимости в диэлектрике - это переход электрона в зону проводимости. Однако, если ширина запретной зоны DW >> kT, то концентрация электронов в зоне проводимости ничтожно мала. Поэтому диэлектрики практически не проводят электрический ток.
Рассмотрим теперь теплоемкость кристалла диэлектрика. В § 10.3 отмечалось, что при не слишком низких температурах атомная теплоемкость кристалла равна 3R (закон Дюлонга и Пти). Эксперименты показывают, что в области низких температур закон Дюлонга и Пти нарушается: при T→0 атомная теплоемкость C→0. Причина такого отступления от закона Дюлонга и Пти состоит в том, что классическое выражение для энергии колебательного движения атома (
, см. § 10.3) при низких температурах нарушается и должно быть заменено на более общее квантово-механическое выражение. Чтобы получить это выражение, рассмотрим более подробно особенности колебаний атомов кристалла.
|
|
|
Каждый атом кристалла может совершать колебания с частотами n, 2 n, 3 n,..., которые можно найти из выражения (30.25). Благодаря упругим связям между атомами колебания какого-либо атома не локализованы, а распространяются в кристалле в виде упругих волн той же частоты. Распространение таких упругих волн в кристалле можно описывать как движение некоторых воображаемых частиц (квазичастиц), которые называются фононами. Фонон как квазичастица во многом проявляет сходные свойства с реальной частицей фотоном. Фононы, как и фотоны, обладают дискретным набором энергий hn, 2hn, 3hn,..., однако, в отличие от фотона фонон может существовать, лишь двигаясь внутри кристалла.
Фонону, как и фотону, приписывается целочисленный спин, равный единице, поэтому эти частицы относятся к бозонам и подчиняются статистике Бозе-Энштейна. Используя эту статистику, можно показать, что средняя энергия фонона, приходящаяся на одну степень свободы,
.
Учитывая, что фонон обладает тремя степенями свободы, получаем, что внутренняя энергия одного килограмм-атома кристалла равна произведению числа Авогадро NA на 
:
|
|
|
 .
| (33.1) |
Рассмотрим поведение внутренней энергии U и атомной теплоемкости CV в области высоких и низких температур.
Область высоких температур: hn<<kT. Тогда
,
поэтому выражение для внутренней энергии (33.1) принимает вид
.
Отсюда атомная теплоемкость
,
т.е. в этой области температур справедлив закон Дюлонга и Пти.
Область низких температур: hn>>kT. Тогда
,
,
отсюда атомная теплоемкость
 .
| (33.2) |
Рис. 33.4
|
Поскольку показательная функция e-hn/kT при изменении аргумента изменяется существенно быстрее, чем степенная (T-2), нетрудно показать, что при T → 0, CV → 0.
График зависимости CV от T показан на рис. 33.4. В области низких температур полученная нами зависимость CV(T) — формула (33.2) — лишь качественно согласуется с экспериментом. Более строгая теория, учитывающая взаимодействие фононов, была разработана Дебаем.
