Интегралы вида
,
где - целые числа, сводятся к интегралу от рациональных функций заменой переменной , где - наименьшее общее кратное чисел (НОК ). Аналогичная подстановка делается, если вместо содержатся выражения вида или .
Пример 8. Вычислить интеграл
.
Т.к. НОК (2;3)=6, то делаем подстановку:
и
=
Переходя к переменной , получим:
Интегралы вида , где - вещественные числа, в общем случае вычисляются одной из подстановок Эйлера:
, ; (9)
, ; (10)
или , (11)
где и - различные вещественные корни трехчлена .
Пример 9. Вычислить интеграл
.
Используем 1–ю подстановку Эйлера (9): . Возведем в квадрат обе части равенства. После сокращения получим:
;
выразим теперь радикал через переменную :
.
Подставляя выраженные через величины в , получим:
.
Делая подстановку ; , получим: