Интегралы с бесконечными пределами
Пусть функция определена в интервале . Тогда предел называется несобственным интегралом. Если этот интеграл существует (т.е. равен какому – то числу), то он называется сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах и :
,
.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл
.
Приложения определенного интеграла.
1. Площадь области, ограниченной кривой , осью и прямыми и равна
(17)
(площадь участков с должна браться по модулю). При параметрическом задании функции , будет равна
. (18)
В полярной системе координат площадь , ограниченная кривой и двумя лучами и равна
. (19)
2. Длина дуги плоской, дифференцируемой на отрезке кривой, заданной уравнением , равна
. (20)
При параметрическом задании кривой , равна
. (21)
В полярной системе координат длина дуги кривой, заданной уравнением , где , находится по формуле
|
|
. (22)
3. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси , равна
. (23)
4. Объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси , равен
. (24)