Символический метод расчёта

4 5 6 7 8 9 10

Строгий аналитический расчёт трёхфазных цепей производится символическим методом, т.е. в комплексной форме.

1. К цепям ветви приложено линейное напряжение. Запишем напряжения ветвей в комплексной форме:

Ú_А=U_фе^j^0º=220е^j^0º B

Ú_B=U_фе^-^j^120º=220е^-^j^120º B

Ú_C=U_фе^j^120º=220е^j^120º B

2. Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Ż_A=R_A+jX_LA-jX_CA=11+j34-j53=11-j19 Ом

Ż_B=R_B+jX_LB=11+j19 Ом

Ż_C=-jX_CC=-j22 Ом

Переведём комплексные сопротивления фаз из алгебраической формы в показательную форму.

Где Z_A=22Ом – полное сопротивление фазы А

φ_А= -60⁰ – угол сдвига между током и напряжением в фазе А.

Аналогично определяем:

Ż_В= 11+j19=22е^j^60º Ом

Z_В=22Ом

φ=60^º - угол сдвига между током и напряжением в фазе B

Ż_C=-j22=22е^-^j^90º Ом

Z_С=22Ом

φ=-90^º - угол сдвига между током и напряжением в фазе C

3. Находим фазные токи схемы:

İ_А=Ú_А/Ż_А=220е^j^0º/22е^j^-60º=10е^j^60ºA

İ_В=Ú_В/Ż_В=220е-^j^120º/22е^j^60º=10е^-^j^180ºA

İ_C=Ú_C/Ż_C=220е^j^120º/22е^-^j^90º=10е^j^210ºA

Находим алгебраическую форму записи комплексов фазных токов:

İ_А=10е^j60º=10cos60⁰+j10sin60⁰=5+j8,66 A

İ_В=10е^-j180º=10cos(-180⁰)+j10sin(-180⁰)=-10 A

İ_C=10е^j210º=10cos210⁰+j10sin210⁰=-8,66-j5 A

4. Вычислим ток в нейтральном проводе:

İ_N=İ_А+İ_В+İ_C=5+j8,66 -10 -8,66-j5

İ_N=-13,66+j3,66=14,14е^j¹⁶⁵^º A

5. Находим мощность фаз и всей схемы:

Ś_А= Ú_А*İ_А=220е^j^0º*10е^-^j^60º=2200е^-^j^60º=1100+j1905 В*А

Полная мощность фазы А Ś_А= 2200 В*А

Активная мощность: Р_А= 1100 Вт

Реактивная мощность: Q_А= -1905 Вар

Ś_В= Ú_В*İ_В=220е-^j^120º*10е^j^180º=2200е^j^60º=1100+j1905 В*А

Полная мощность фазы В Ś_В= 2200 В*А

Активная мощность: Р_В= 1100 Вт

Реактивная мощность: Q_В= 1905 Вар

Ś_С= Ú_С*İ_С=220е^j^120º*10^-^j^210º=2200е^-^j^90º= -2200 В*А

Полная мощность фазы С Ś_С= 2200 В*А

Активная мощность: Р_С= 0 Вт

Реактивная мощность: Q_С= -2200 Вар

Полная мощность всей схемы:

Ś=Ś_А+Ś_В+Ś_С=1100+j1905+1100+j1905-2200=2200-j2200=3111е^-^j^45º B*A

Полная мощность схемы Ś= 3111 В*А

Активная мощность: Р= 2200 Вт

Реактивная мощность: Q= -2200 Вар

2.5.2 Методика расчёта трёхфазных электрических цепей переменного тока при соединении потребителей треугольником.

В цепи, изображенной на схеме (рис.2.40), потребители соединены треугольником. Известно линейное напряжение Uл=3800 В и сопротивление фаз: R_A_В=19 Ом, Х_САВ=11 Ом, R_ВС=12 Ом, Х_LB_С=16 Ом, R_C_А=22Ом.

Определить полные сопротивления фаз, фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

Дано: Uф=380 В

R_A_В=19 Ом, Х_САВ=11 Ом, R_ВС=12 Ом, Х_LB_С=16 Ом, R_C_А=22Ом.

Определить: I_А, I_В, I_С,

I_А_B, I_В_C, I_С_A,

P, Q, S.

1. Модули фазных напряжений при соединении треугольником равны линейным напряжениям.

Uл = Uф=380 В, то есть U_АВ= U_BC=U_C_А=380 В

Комплексы данных напряжений запишем, что вектор U_АВ совмещен с действительной осью комплексной плоскости.

Ú_АВ=U_Ле^j^0º=380е^j^0ºВ

Ú_АВ=U_Ле^j^-120º=380е^-j^120ºВ

Ú_CA=U_Ле^j^120º=380е^j^120ºВ

2. Выражаю сопротивление фаз в комплексной форме:

Ż_A_В=R_AB-jX_C_АВ=19-j11=22е^-^j^30º Ом

где Ż_A=22 Ом, φ_АВ=-30º

Ż_ВС=R_B_СjX_L_В_C=12+j16=20е^j^53º Ом

где Ż_BC=20 Ом, φ_В_C=53º

Ż_CA=R_CA=22 Ом

где Ż_CA=22 Ом, φ_CA=0º

3. Определяю комплексы фазных токов:

İ_А_B=Ú_А_B/Ż_А_B=380е^j^0º/22е^-^J^30º=17,27е^j^30º=14,96+j8,64 А

Модуль İ_А_B=17,27 А, аргумент ψ_АВ=30⁰

İ_В_C=Ú_В_C/Ż_В_C=380е-^j^120º/20е^j^53º=19е^-^j^173º=-18,86-j2,32 А

Модуль İ_B_С=19 А, аргумент ψ_ВС=-173⁰

İ_CA=Ú_CA/Ż_CA=380е^j^120º/22е^j^0º=17,27е^j^120º=-8,64+j14,96 А

Модуль İ_СА=17,27 А, аргумент ψ_СА=120⁰

4. Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов В, А, С. (рис. 2.40).

İ_А= İ_А_B-İ_СА=14,96+j8,64+8,64-j14,96=23,6-j6,32=24,43е^-^j^15º А

Модуль İ_А=24.43 А, аргумент ψ_А=-15⁰

İ_B= İ_ВС-İ_А_B=-18,86-j2,32-14,96-j8,64 =-33,82-j10,96=35,55е^j^198º А

Модуль İ_В=35,55 А, аргумент ψ_В=198⁰

İ_С= İ_СА-İ_B_С=-8,64+j14,96+18,86+j2,32 =10,22-j17,28=20,1е^j^59,4º А

Модуль İ_С=20,1 А, аргумент ψ_С=59,4⁰

5. Вычисляем мощности каждой фазы и всей цепи:

Ś_АВ= Ú_АВ*İ_АВ=380е^j^0º*17,27е^-^j^30º=6563е^-^j^30º=5684+j3282 В*А

Полная мощность фазы АВ Ś_АВ= 6563 В*А

Активная мощность: Р_АВ= 5684 Вт

Реактивная мощность: Q_АВ= -3282 Вар

Ś_ВС= Ú_ВС*İ_ВС=380е-^j^120º*19е^j^173º=7220е^j^53º=4345+j5766 В*А

Полная мощность фазы ВС Ś_ВС= 7220 В*А

Активная мощность: Р_ВС= 4345 Вт

Реактивная мощность: Q_ВС= 5766 Вар

Ś_СА= Ú_СА*İ_СА=380е^j^120º*17,27^-^j^120º=6563е^j^0º= 6563 В*А

Полная мощность фазы СА Ś_СА= 6563 В*А

Активная мощность: Р_СА= 6563 Вт

Реактивная мощность: Q_СА= 0 Вар

Полная мощность всей схемы:

Ś=Ś_АВ+Ś_ВА+Ś_СВ=5684-j3282+4345+j5766+6563=16592+j2484=16777е^j^8,5º B*A

Полная мощность схемы Ś= 16777 В*А

Активная мощность: Р= 16592 Вт

Реактивная мощность: Q= 2484 Вар

6. Строим в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов. Векторы фазных токов İ_А_B, İ_ВС, İ_СА строятся под углами ψ_АВ, ψ_ВС, ψ_СА к действительной оси. К концам векторов İ_А_B, İ_ВС, İ_СА пристраиваются отрицательные фазные токи согласно уравнениям:

İ_А= İ_А_B-İ_СА

İ_B= İ_ВС-İ_А_B

İ_С= İ_СА-İ_B_С

Замыкающие векторные треугольники векторов İ_А_B, İ_ВС, İ_СА представляют в выбранном масштабе линейные токи.

Выбираем масштаб М_I=4 А/см.