2015-05-20
1267
Задача 1. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и b. На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Доказать, что расстояние от вершины прямого угла до центра этого квадрата равно 
.
Доказательство
Введем систему координат. Выберем вершину прямого угла в качестве начала координат, а оси направим вдоль катетов треугольника (рис. 14).
Рис. 14
Центр квадрата АКТВ — середина его диагонали AT. Точка А имеет координаты А(0; b). Чтобы найти координаты точки Т, проведем TD ⊥ Cx и сравним прямоугольные треугольники BDT и ВСА. Они равны по гипотенузе и острому углу (АВ = ВТ как стороны квадрата, a ∠TBD = 180° - 
- 90° = 90°- = ∆BAC). Тогда BD = АС = b, TD = BC = a. Значит, координаты точки Т будут Т(а + b; а). М — середина отрезка АТ, поэтому
= 
;
= .
Начало координат имеет координаты С(0; 0), тогда CM = 
= .
Задача 2. Доказать, что один из внутренних углов треугольника ABC тупой, если А(3; 5; 3), Б(2; -1; 4) и С(0; -2; 1).
Решение
Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками: d = 
.
BC = 
;
|
|
|
AC = 
= 
;
AB = 
= 
.
Рассмотрим соотношения между числами, выражающими квадраты сторон данного треугольника: 38 + 14 = 52, 62 > 52, т. е. 
.
Следовательно, сторона АС лежит против тупого угла В.
