Предел последовательности. Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция

Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция

определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение х_n (п= 1, 2, 3,...) называется элементом последовательности, а число п -его номером.

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов; среди них, конечно, могут быть и равные.

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого числа > 0 найдется такой номер N, что при всех п > N вы­полняется неравенство

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, последовательность, у которой нет предела, - расходящейся.

Последовательность (х_n) называется ограниченной сверху (сни­зу), если существует такое число А, что х_п А (соответственно х_п А) для всех номеров п.

Последовательность (х_п), ограниченная сверху и снизу, называ­ется просто ограниченной.