Если в качестве объекта рассматривать резистор, сопротивление которого принимает ряд случайных значений в интервале от а до b (непрерывное распределение состояний, рис. 4.6), то непрерывное распределение можно заменить дискретным. Для этого область изменения сопротивления резистора разбивается на n одинаковых интервалов . Тогда энтропия объекта
,
где Р (Ri) - вероятность сопротивления резистора в интервале со средним значением Ri. С учетом плотности распределения f (Ri )
и
(4.27)
Раскрывая логарифм произведения, приведем последнее выражение к виду
Перейдя к пределу при , найдем выражение для энтропии объекта с непрерывным распределением параметров:
(4.28)
При выводе формулы (4.28) учитывалось следующее, вытекающее из определения плотности вероятности условие:
.
Принципиальной особенностью энтропии объекта с непрерывным распределением состояний является ее зависимость от шага квантования . Выбор шага квантования обусловлен требуемой точностью при аппроксимации непрерывного распределения ступенчатым (дискретным), но само существование шага квантования связано с физической сущностью непрерывного процесса.
|
|
Величину в равенстве (4.28) можно рассматривать как начало отсчета энтропии; для многих задач оно оказывается несущественным. В общем случае объект с непрерывным распределением состояний характеризуется параметром х, изменяющимся в пределах , тогда
(4.29)
Последнее равенство можно записать через математическое ожидание Mxслучайной величины
(4.30)
Пример 4.3. Определим энтропию объекта, состояния которого (значения х) подчиняются закону нормального распределения (рис. 4.7, а). С учетом плотности распределения х, заданной выражением
,
энтропия (4.30) принимает следующий вид:
Так как , то
(4.31)
Отметим, что энтропия в данном случае не зависит от среднего значения параметра и определяется отношением .
Пример 4.4. Определим энтропию объекта, состояния которого равновероятны на участке (рис. 4.7,б). В этом случае
Из формулы (4.29) получаем:
(4.32)