Задача 1. Тема 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 3адачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Тема 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. 3адачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями.

Задача 1

Пример. С некоторой высоты брошено тело массой m. Найти закон изменения скорости падения тела, если на него кроме силы тяжести действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости падения тела..

Можно показать, что:

• закон изменения массы радия в зависимости от времени (радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением ,

г де k>0 — коэффициент пропорциональности, m(t)— масса радия в момент времени t.

• Зависимость массы Х вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t во многих случаях описывается уравнением:

2. Основные понятия

Дифференциальным называется уравнение, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные F(x; y; у´; у´´;…у⁽ⁿ⁾). (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения у' = f(х) является функция у = F(х) — первообразная для функции f(х).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным..

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение у"' — Зу" + 2у = 0 обыкновенное ДУ третьего порядка,

а уравнение х²у' + 5ху = у² — первого порядка;

у · z'_х = х ·z'_у - ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ интегральной кривой.