Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение у'р(х)·у=0. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

Таким образом, , т.е. или ,

где с = ±с₁

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем с = с(х). Решение уравнения (6) ищем в виде (9)

Находим производную:

Подставляем значения у и у' в уравнение (6):

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид:

Следовательно

Интегрируя, находим

Подставляя выражение с(х) в равенство (9), получим общее решение ДУ (6):

Естественно, что та же формула была получена методом Бернулли.

Пример 2. Решить у' + 2х·у = 2х методом Лагранжа.

Решение. Решим уравнение у' + 2х·у = 0. Имеем = –2х·dх, или у = с· . Заменяем с на с(х), т.е. решение ДУ ищем в виде у=с(х) · .

(1- ее решение данного уравнения: ому уравнению Имеем .

Тогда: , т.е. или или . Поэтому или - общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида (х·Р(у) + Q(у))·у´ = R(у), где Р(у), Q(у), R(у)≠0 – заданные функции,можно привести к линейному, если х считать функцией,а у – аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством у´_х=1/х´, получаем , т.е. - линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде х = u·v, где u = u(у), v = v(у) – две неизвестные функции.

Пример 3. Найти общее решение уравнения (х + у) · у' = 1.

Решение: Учитывая, что у´_х=1/х´, от исходного уравнения переходим к линейному уравнению х´=х+у. Применим подстановку х = u·v. Тогда х´ = u´·v + u·v´. Получаем: u´·v + u·v´ = u·v + у, или u´·v + u·(v´– v) = у.

Находим функцию v: v´– v = 0; v = е^у.