Лабораторная работа №3. Логические операции, равносильность формул.
Цель работы. Изучить логические операции и основные равносильности алгебры логики, научиться составлять таблицы истинности для формул алгебры логики и преобразовывать формулы, используя основные равносильности и правила поглощения.
Задание 1. Построить таблицы истинности для высказываний
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) .
Методические указания.
Пример. Построить таблицу истинности для высказывания
X | Y | XÚY | ||
Задание 2. Используя основные равносильности алгебры логики, доказать равносильность формул:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ;
6) .
Методические указания.
Основные равносильности алгебры логики:
1. — закон двойного отрицания
2. A&B≡B&A — коммутативный закон для конъюнкции
3. AÚB≡BÚA — коммутативный закон для дизъюнкции
4. (A&B)&C≡A&(B&C) — ассоциативный закон для конъюнкции
|
|
5. (AÚB)ÚC≡AÚ(BÚC) — ассоциативный закон для дизъюнкции
6. A&(BÚC) ≡ (A&B)Ú(A&C) — дистрибутивные законы
7. AÚ (B&C) ≡ (AÚB)&(AÚC)
8. A&A≡A — закон идемпотентности для конъюнкции
9. AÚA≡A — закон идемпотентности для дизъюнкции
10. — закон де Моргана
11. — закон де Моргана
12. A&1≡A — закон единицы для конъюнкции
13. A&0≡0 — закон нуля для конъюнкции
14. AÚ1≡1 — закон единицы для дизъюнкции
15. AÚ0≡A — закон нуля для дизъюнкции
Пример. Доказать, что .
Решение. Закон единицы для конъюнкции позволяет заменить Х на X&1:
.
Используя дистрибутивный закон, вынесем Х за скобки:
.
Закон единицы для дизъюнкции гласит 1ÚYº1, а закон единицы для дизъюнкции Х&1ºХ позволяет получить искомое выражение:
, что требовалось доказать.
Задание 3. Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности упростить формулы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ;
8) ;
9) .