Решение. Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу P(x > 3) = 1- P(x 3) = 1- Fx (3)

Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу P (x > 3) = 1- P(x 3) = 1- F_x (3), где F_x (x) - функция распределения для биномиального распределения. Для вычисления вероятности по теореме Пуассона используем формулу P (m > 3) = 1- P(m 3) = 1- F m(3), где F m (x) - функция распределения Пуассона с параметром l = np = 3.

Выполним те же вычисления для p = 0.3 и n = 10 (l = np = 3).

pbinom(3,1000,0.003) - значение функции распределения биномиального закона для серии 1000 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании 0.003

Вероятность того, что в серии из 1000 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании 0.003, число успехов больше трех, вычисленная по точной формуле, равна 0.35277.

ppois(3,3) – значение в точке 3 функции распределения в закона Пуассона с параметром l=3

Вероятность того, что в серии из 1000 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании 0.003, число успехов больше трех, вычисленная по приближенной формуле Пуассона, равна 0.35277.

Для n = 1000 и p = 0.03 (npq = 29.1) результаты вычислений по точной и приближенной формуле совпадают до 5-го знака после запятой. Это означает, что формула Пуассона в этом случае дает хорошее приближение.

Вероятность 3-х успехов для серии 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании 0.3, вычисленная по формуле Бернулли равна 0.12087

Вероятность 3-х успехов для серии 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании 0.3, вычисленная по формуле Пуассона, равна 0.14288

Итак, для npq = 29.1 формула Пуассона дает хорошее приближение, а для npq = 2.1 ее применять не следует.

Пример 2. Точность формулы Муавра-Лапласа.

Вычислим вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное n/2. Выполним вычисления для n = 10, 20, 50. Сравним результаты вычислений по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа.