Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3. Если область разбить линией на две области и , то

4.Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции то и .

5. Если подынтегральная функция , то двойной интеграл численно равен площади области интегрирования:

.

6. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то

, где и - соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что

Величину называютсредним значением функции в области .

8. Координаты центра тяжести однородной пластинки можно вычислить по формулам

,

Пример 4. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Рис.1

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси , то . Остается найти . Найдем площадь фигуры:

Тогда

.

Пример 5. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, изображенную на рис. 1. Для изменения порядка интегрирования разобьем область на две части: и . Тогда исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов: