Необходимые условия существования экстремума

Если функция имеет экстремум в точке , то либо (точку называют стационарной) либо не существует (точку называют критической).

Обратное утверждение неверно: критические и стационарные токи не обязательно являются точками экстремума.

Достаточное условие существования экстремума.

Если при переходе через точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум

Шаг 1. Найти область определения функции .

Шаг 2. Найти производную .

Шаг 3. Найти стационарные и критические точки

Шаг 4. Разбить на интервалы стационарными и критическими точками.

Шаг 5. Определить знак производной в каждом из полученных интервалов и сделать выводы о промежутках монотонности и точках экстремума .

Шаг 6. Вычислить экстремумы (экстремальные значения функции).