Под устойчивостью электрической цепи понимают свойство цепи возвращаться к установившемуся состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Если цепь обладает таким свойством, то она устойчива, если не обладает, то неустойчива.
Неустойчивость электрической цепи проявляется в том, что ее выходная величина (напряжение или ток) монотонно возрастает с течением времени либо в цепи возникает колебание токов и напряжений с непрерывно возрастающей амплитудой. В реальных электрических цепях за счет нелинейностей и ограниченности величин источников питания в первом случае выходная величина будет ограничена на некотором конечном уровне, а во втором случае будет конечной и постоянной амплитуда колебаний.
Как в первом, так и во втором случае электрическую цепь нельзя использовать для передачи или усиления сигналов, так как в неустойчивой цепи выходная величина перестает зависеть от входной величины. Однако во втором случае электрическая цепь может быть использована для создания синусоидальных колебаний (автогенераторы).или периодических несинусоидальных колебаний (мультивибраторы, блокинг-генераторы и ряд других устройств).
|
|
Основы современных методов исследования устойчивости как электрических цепей, так и других систем были разработаны выдающимся русским математиком академиком А. М. Ляпуновым (1857—1918). Более подробно эти методы рассматриваются в дис-
циплине «Системы автоматического управления». Здесь же ограничимся рассмотрением оценки устойчивости линейной электрической цепи по виду корней ее характеристического уравнения и понятия о критериях устойчивости.
Как показано в разд. 13, физические процессы в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами после прекращения действия на нее внешних возмущений описываются линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
где x(t) —выходная величина электрической цепи (ток или напряжение). Решение этого уравнения имеет вид
где Ak— постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями;
pk — корни характеристического уравнения цепи
Так как коэффициенты этого уравнения аk вещественны, то его корни pk могут быть вещественными либо попарно комплексно-сопряженными.
Вещественному корню pk=ak соответствует составляющая
Вид этой составляющей в зависимости от знака ak показан на рис. 19.12.
Паре комплексно-сопряженных корней и соответствует составляющая
где Ck=2Ak.
Вид этой составляющей в зависимости от знака а низображен на рис. 19.13.
Из рис. 19.12 и 19.13 видно, что для того, чтобы линейная электрическая цепь была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни pk ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. Для этого, как показано в предыдущем разделе, необходимо, чтобы характеристический полином цепи был полиномом Гурвица.
|
|
В активных цепях с обратной связью в отличие от пассивных цепей характеристический полином может иметь нули и в правой полуплоскости, т.е, не быть полиномом Гурвица. Это видно из вы-
ражения для передаточной функции цепи с обратной связью (19.1), полином знаменателя которой равен разности полиномов знаменателя и числителя возвратного отношения. Поэтому активная цепь с обратной связью может быть неустойчивой.
Производить оценку устойчивости электрической цепи по виду корней ее характеристического уравнения в случае, если это уравнение имеет степень выше второй, затруднительно из-за сложности вычисления корней. Кроме того, иногда возникает задача анализа устойчивости электрической цепи по виду ее экспериментально снятых частотных характеристик, заданных в виде графиков или таблиц. Характеристическое уравнение цепи в этом случае неизвестно.
Поэтому применяются косвенные методы суждения об устойчивости электрических цепей, не требующие вычисления корней характеристического уравнения или даже определения вида этого уравнения. Эти методы получили название критериев устойчивости, которые разделяют на алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости по виду его коэффициентов. Из алгебраических критериев устойчивости наибольшее применение на практике находит критерий Гурвица, предложенный швейцарским математиком А. Гурвицем в 1895 г. Этот критерий формулируется следующим образом.
Для того чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами
лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при αn>0 составленный из коэффициентов уравнения определитель
и все его главные миноры
были положительны.
Определитель (19.19) обычно называют определителем Гурвица. Он составляется по следующему правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты уравнения, начиная с ап- 1. Справа от этих коэффициентов записывают коэффициенты при старших степенях, а слева — коэффициенты при младших степенях. Все коэффициенты, индексы которых превышают п или отрицательны, заменяют нулями.