Задача 2.1. На четырехканальную АТС поступает простейший поток вызовов с λ=3мин-1. При приеме вызова разговор продолжается случайное экспоненциальное время, в среднем равное 2 мин.
Вычислить:
1) вероятность отказа при наборе номера;
2) вероятность полного простоя АТС.
Решение.
По формулам Эрланга имеем при ρ = λ*υ = 3*2 =6
1) ,
где
2)
Задача 2.2. Определить загрузку ρ СМО М/М/N/0, при которой вероятность простоя равна вероятности занятости одного канала.
Решение.
Задача 2.3. Два сотрудника ГАИ фиксируют простейший с интенсивностью λ = 10 час-1 поток нарушений на транзитной магистрали. Сотрудник фиксирует нарушение и наказыват водителя в среднем за 12 минут. Определить:
1) Количество К безнаказанных водителей за смену Т = 8 часов;
2) Время простоя Тпрост сотрудников за смену в человеко – часах.
Решение
Определим следующие состояния СМО:
S0 – простой сотрудников ГАИ;
S1 – работает один сотрудник;
S2 – работают оба сотрудника (появившийся нарушитель получает «отказ в обслуживании» и проезжает безнаказанно).
|
|
1) ρ = λ∙υ = 10 ∙ 12/60 = 2
К = Т ∙ λ ∙ Ротк = 8 ∙ 10 ∙ 0,4 = 32 (безнаказанных водителя);
2)
Задача 2.4. Оценить среднее время ожидания клиентом международной телефонной станции (МТС) разговора в направлении Н, если число заказов в час равно 18, средняя длительность разговора – 5 минут, число линий в направлении Н равно 2.
Решение
Загрузка МТС в направлении Н равна ρ = λ∙υ = 18 час-1 ∙ 1/12 час = 1.5, что меньше числа линий, 2, так что стационарный режим существует.
Искомое время W равно, по формуле Литтла,
где L – средняя длина очереди. Ее можно оценить по формуле для М/М/N/∞ при N = 2, R = 1,5. Получим при ρ = R/N = 0,75
так что W = 1,93 / 18 = 0,107 (час) = 6,43 мин.
Задача 2.5. Два сотрудника ГАИ дежурят на автомагистрали, по которой следует простейший поток машин с интенсивностью 100 час-1. Правила нарушает каждый 10-й водитель. Один сотрудник фиксирует нарушения и ставит автомобили в очередь, другой оформляет нарушения за случайное время, равное в среднем 4 минуты. Определить:
1) Среднее время задержки нарушителя у поста ГАИ;
2) Среднюю длину цепочки машин у поста.
Решение
Имеем СМО М/М/1/∞ с λ = 100 ∙0,1 = 10 час-1, υ = 4 мин = 0,067 час, так что ρ = λ∙υ = 0,67 < 1 и стационарный режим существует.
1) u = υ / (1 - ρ) = 4 / (1 – 0,67) = 12 мин = 1/ 5 часа
2) По формуле Литтла m = λ* u = 10 * 1/ 5 = 2 машины
Домашнее задание:
1) Определить загрузку ρ СМО М/М/N/0, при которой вероятность отказа равна вероятности занятости одного канала.
2) В условиях задачи 2.3 при какой интенсивности потока нарушений % безнаказанных водителей не превысит 10%?
|
|
3) В условиях задачи 2.4 число заказов возросло до 23 в час, т.е. примерно на 30%. Во сколько раз при этом увеличилось время ожидания разговора?