Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram


Гомоморфизм | Мономорфизм | Эпиморфизм | Изоморфизм | Автоморфизм в алгебре

Определение. Отображение  называется гомоморфизмом, если . Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.

Примеры:
                1) , .  - гомоморфизм.
2) , .  - гоморфизм.
3)  - группу аффинных преобразования -мерного пространства отобразим на  - группу линейных преобразований -мерного пространства. Будем ставить аффинному преобразованию в соответствие его дифференциал, т.е.  - аффинное преобразование перейдет в . Это будет гомоморфизмом.
4) Пусть есть группа , возьмем элемент . Автоморфизм сопряжения с помощью элемента : . Этот автоморфизм нетривиален (не тождественный), если найдется  такой, что .

Определение. Группа называется абелевой (коммутативной), если .

Предложение. Если  - гомоморфизм, то  и .
Здесь  - единичный элемент группы ,  - единичный элемент группы .  - обратный к  элемент группы ,  - обратный к  элемент группы .
Доказательство.
                1) Т.к. , то . Имеем
.
2) , следовательно .

Предложение. Гомоморфизм  является мономорфизмом тогда и только тогда, когда из  следует , т.е. полный прообраз единицы равен единице.
Доказательство.
 Если  мономорфизм и . Т.к.  и  инъективно, то .
 Пусть  (полный прообраз) и . Тогда
. По условию , т.е. . Следовательно  - инъективно, т.е. является мономорфизмом.

Определение. Пусть отображение  - гомоморфизм групп. Тогда ядром этого отображения называется множество , т.е. полный прообраз единицы.

По предыдущему предложению получаем, что  - мономорфизм тогда и только тогда, когда .

Упражнение. Пусть  - гомоморфизм групп, доказать, что  является подгруппой в .

Определение. Подгруппа  в группе  называется нормальной (обозначается ), если , т.е. если .

Предложение. Пусть  - подгруппа в , тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) ;
2) ;
3) каждый правый смежный класс совпадает с левым, т.е. .
Доказательство.
                 Очевидно.
 Надо доказать, что , пусть , тогда . Поэтому , следовательно . Обратно аналогично: , следовательно  и .
 Мы имеем, что . Возьмем произвольный элемент , тогда , т.е. , но тогда . Мы получили, что . Теперь покажем, что таким образом можно получить любой элемент из , т.е. что . Если , то , следовательно , но тогда . Следовательно .

Пример:
При помощи этого предложения можно доказать, что  не является нормальной подгруппой в , т.к. ее левые и правые смежные классы не совпадают.

Теорема. Пусть  - гомоморфизм, тогда .
Доказательство.
Сначала докажем, что  является подгруппой в .
Если , то и , т.к. .
Если , то и , т.к. .
Теперь докажем нормальность этой подгруппы.
, следовательно  и .

Примеры:
1) , . Тогда .
2) , . Тогда .
3) , . Тогда .

Предложение. Если  - гомоморфизм и , тогда .
Доказательство.
                .

Определение. Пусть , фактор группа  - это множество смежных классов  по  с операцией .

Теорема.  - группа.
Доказательство.
Сначала докажем, что операция определена корректно. Пусть  и , покажем, что . Имеем  и , тогда . Причем , следовательно .
Ассоциативность операции: .
Единичный элемент: .
Обратный элемент: .

Отображение ,  называется естественным эпиморфизмом.

Теорема. Отображение - эпиморфизм и .
Доказательство.
, т.к. , то у любого смежного класса есть прообраз, следовательно, это эпиморфизм. Т.к. , то .

Теорема (о гомоморфизме). Пусть  - гомоморфизм групп, тогда  (изоморфно).
Доказательство.
Построим изоморфизм : , . Эта отображение определено корректно, т.к. .
Докажем, что это гомоморфизм:
.
Докажем биективность, т.е. что это изоморфизм. Т.к. , это отображение биективно.

Пример:
Покажем, как при помощи этой теоремы доказать изоморфность . Нам нужно задать гомоморфизм  такой, чтобы . Например . Тогда по теореме о гомоморфизме будем иметь, что .
Лекция 3 (17.09.2001)

Теорема. Циклическая группа порядка  изоморфна группе .
Доказательство.
Пусть . Зададим гомоморфизм  следующим образом: . Это гомоморфизм, т.к. . Тогда по теореме о гомоморфизме имеем .

Упражнение. Бесконечная циклическая группа изоморфна группе .

Определение. Пусть  - группа.  - произвольное множество.  действует на , если есть отображение , т.е. которое паре  ставит в соответствие некоторый элемент . Причем  и .

Примеры:
                1)  действует на  - -мерном комплексном пространстве, по следующему правилу: пусть  - базис, в нем вектор  имеет координаты , тогда .
2) Пусть  - подгруппа в , тогда  действует на  по правилу .
3) Пусть  и . Имеем естественное действие симметрической группы на множестве .
4) Пусть  и  - многочлены от  неизвестных. Действие определим по правилу .
5)  действует на  сопряжением . Т.к.  и , то это действительно будет действием.

Предложение. Пусть  действует на  и , тогда отображение  является биекцией на множестве .
Доказательство.
Для доказательства этого факта на достаточно указать обратное отображение. Им будет отображение . Оно действительно будет обратным, т.к.  и . Следовательно, это биекция.

Определение. Пусть  действует на  и . Орбита  - это множество . Стабилизатор  - это множество .

Упражнение. Доказать, что  является подгруппой в .

Определение. Пусть - группа . Централизатор  - это множество . Класс сопряженных элементов, содержащий  - это множество .

Примеры:
1) При действии  на  - -мерном пространстве будет всего две различные орбиты: все ненулевые векторы (орбита любого ненулевого вектора), ноль (орбита нуля).
2) При действии подгруппы  на группе  имеем  и .
3) При действии  на себе сопряжением имеем , .

Предложение. Если орбиты пересекаются, то они совпадают.
Доказательство.
Пусть .  имеем , следовательно .  имеем . Аналогично имеем .

Предложение. .
Доказательство.
Допустим, что , но тогда . Следовательно существует биекция между множеством орбит и множеством левых смежных классов  по . Следовательно  - это число различных смежных классов, а по теореме Лагранжа это равно .

Следствие. .

Упражнение. Доказать, что если , то .

Определение. Пусть  действует на . Элемент  называется неподвижным (инвариантным) относительно этого действия, если , т.е. если .

Примеры:
1) При действии симметрической группы на многочлены неподвижными являются симметрические многочлены.
2) При действии  на себе сопряжением имеем, что элемент  неподвижен тогда и только тогда, когда . Множество всех неподвижных элементов группы называется центром группы  (обозначается ).

Упражнение.  - нормальная абелевая подгруппа в .

Теорема. Пусть -поле, тогда .
Доказательство.
Пусть , если она неподвижна, то . Распишем это равенство:
.
В левой матрице на месте  стоит элемент , а в правой , следовательно , а остальные элементы нули. Т.к. это верно для любых , то матрица  диагональная и по диагонали стоят одинаковые числа, т.е. .

Упражнение. Найдите центры групп  и .

Теорема. При  .
Доказательство.
Возьмем  - любую не единичную подстановку. Разложим ее в произведение независимых циклов:
1) Пусть в этом разложении есть два цикла, т.е. . Возьмем подстановку , тогда .
2) Пусть в этом разложении есть хотя бы один цикл длины 3, т.е. , . Возьмем подстановку , тогда .
3) Пусть в этом разложении есть только один цикл длины 2, т.е. . Т.к. мы работаем в группе  при , то найдется . Возьмем подстановку , тогда .
Оставшийся случай - ни одного цикла - это и будет единичная подстановка. Следовательно неподвижной может быть только единичная подстановка.

Упражнение. Докажите, что .

Теорема. Две подстановки из  сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое цикловое строение, т.е. наборы длин циклов у них одинаковые.
Доказательство.
                . Пусть , тогда  . Т.к. , то и , следовательно, эти циклы независимые и мы получили такое же цикловое строение.
. Покажем на примере, как по данным двум подстановкам  и  найти подстановку , такую что . Пусть  и , тогда  , следовательно .

Определение. Группа  называется -группой, если ее порядок является степенью простого числа .

Теорема. Если  - -группа, то .
Доказательство.
Разобьем  на классы сопряженных элементов (они не пересекаются) . Одноэлементные классы состоят из одного центрального элемента. Если  - не одноэлементный класс, то  - делится на . Имеем, что , где  отвечает всем одноэлементным классам, а  - не одноэлементным. Следовательно , следовательно .

Следствие. Группа порядка  ( просто) абелева.
Доказательство.
Если , то по теореме  или .
1) Пусть , тогда . Следовательно  циклическая, т.е. . Пусть , тогда  и пусть , тогда , т.к. . Имеем, что  (элементы  и  перестановочны с  и друг с другом, т.к. они центральные). Следовательно  - абелева и , т.е. , получили противоречие с тем, что .
2) Если , то , следовательно, группа  абелева.
Лекция 4 (24.09.2001)

Теорема (1-ая теорема Силова). Пусть  - группа порядка , где  - простое число, тогда в группе  существует подгруппа порядка .
Доказательство.
Доказательство проведем по индукции по порядку группы.
База индукции.
Если  утверждение очевидно, в качестве подгруппы можно взять саму группу.
Индуктивный переход.
1) Пусть в группе  существует нецентральный элемент, т.е. . Пусть  - класс сопряженных элементов, содержащий . Т.к. , то , кроме того , где  - это централизатор элемента . Мы знаем, что  всегда является подгруппой.
1а) Пусть , тогда  и . Тогда по предположению индукции (т.к. ) в , а значит и в , есть подгруппа порядка .
1б) Пусть , т.е. . Разобьем группу  на непересекающиеся классы сопряженных элементов. , . Т.к. , то .

Лемма. Пусть  - конечная абелева группа и  - простое число, делящее , тогда в  есть элемент порядка .
Доказательство.
Проведем индукция по порядку .
База индукции: если  утверждение очевидно.
Индуктивный переход.
1) Если порядок какого-нибудь элемента делится на , то пусть , тогда .
2) Пусть порядок любого элемента не делится на . Возьмем произвольный (не единичный) элемент . Рассмотрим , тогда  - делится на . По предположению индукции , т.ч. . Рассмотрим  в . Пусть  - естественный гомоморфизм , тогда . По теореме о гомоморфизме , тогда . Т.е.  делит . Т.е. порядок  делится на , что противоречит предположению пункта 2. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Мы имеем, что , причем  - абелева группа. По лемме в  существует элемент  порядка . Пусть , тогда  и  (т.к.  - центральный элемент). Тогда . По предположению индукции в  есть подгруппа  порядка . Рассмотрим естественный гомоморфизм , рассмотрим полный прообраз подгруппы : , т.е.  и . По теореме о гомоморфизме  и .
2) Если в  нет нецентральных элементов, то , т.е. является абелевой группой. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, применив лемму, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. .

Определение. Пусть  - конечная группа и , где  - простое число и . Тогда подгруппа в  порядка  называется силовской -подгруппой.

Теорема (2-ая теорема Силова). Пусть  - конечная группа,  - простое число, делящее порядок группы. Тогда любая -подгруппа (подгруппа порядка ) содержится в некоторой силовской, кроме того любые две силовские подгруппы сопряжены.
Доказательство.
Пусть  - -подгруппа в ,  - силовская -подгруппа. Пусть . Определим действие:  действует на  на правилу: если , то .  - не делится на . Орбита . , где  - некая функция от . Разобьем  на непересекающиеся орбиты действия . Если все орбиты не одноэлементные, то , что неверно. Следовательно, существует одноэлементная орбита, т.е. существует , такой что , что равносильно условию , но  - силовская подгруппа.
Если  - силовская, то , т.к. они имеют одинаковый порядок. Следовательно две силовские подгруппы сопряжены.

Теорема (3-я теорема Силова). Пусть  - число различных силовских -подгрупп в . Тогда  делит  и .
Доказательство.
Пусть  - множество всех силовских -подгрупп в , тогда . На  группа  действует сопряжением, т.е. если  и , то . По 2-ой теореме Силова множество  является орбитой любой силовской -подгруппы. Т.е. при таком действии существует всего одна орбита и , следовательно, .
Пусть , рассмотрим действие  в  сопряжением.  снова разбивается на орбиты, и порядок каждой из них делит  и потому является степенью числа . Но  инвариантно относительно этого действия, т.е.  - это одноэлементная орбита. Пусть есть еще какая-нибудь одноэлементная орбита, например, , т.е. . Пусть .

Лемма. Множество  является подгруппой в  и .
Доказательство.
Пусть  и . Тогда
 и
, т.е.  - действительно является подгруппой.
Пусть  и , где  и , тогда
, т.е. . Лемма доказана.

Завершим доказательство теоремы. Рассмотрим эту подгруппу . Тогда , т.е. . Пусть  - естественный гомоморфизм. Тогда . Но если , то , где  и , тогда , следовательно . В этом случае  делит , т.е.  - степень числа . Следовательно  - степень числа  и . Т.к.  - силовская, что . Но . Аналогично получаем, что и . Но по предположению  и  различны, получили противоречие.
Итак в  только одна одноэлементная орбита (), значит порядок любой другой орбиты делится на , следовательно, .

Приложения теорем Силова.
1) Возьмем группу , найдем силовские -подгруппы. мы знаем, что , т.е.  и силовская -подгруппа имеет порядок . Одна из силовских подгрупп - это подгруппа , остальные ей сопряжены, т.е. равны .
2) Рассмотрим группу . . Ее силовские 2-подгруппы (всего их 3): , , . Ее силовская 3-родгруппа (она всего одна): .
3) Рассмотрим группу . . Силовских 2-подгрупп всего может быть либо 1, либо 3. Возьмем . Рассмотрим подгруппы , , , … Они все силовские и среди них есть различные, следовательно всего существует три силовские 2-подгруппы. Силовские 3-подгруппы (всего их 4): , ,  и .

Упражнение. Докажите, что если  - наименьшее простое число, делящее  и  - подгруппа индекса  (существует всего  различных смежных классов  по ), то .





 

Читайте также:

Группы алгебра

Алгебра с умножением называется алгеброй Ли

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Группа G и ее нормальные подгруппы

Определение циклической подгруппы

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 8700

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.205.159.168