Определение. Отображение называется гомоморфизмом, если . Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.
Примеры:
1) , . - гомоморфизм.
2) , . - гоморфизм.
3) - группу аффинных преобразования -мерного пространства отобразим на - группу линейных преобразований -мерного пространства. Будем ставить аффинному преобразованию в соответствие его дифференциал, т.е. - аффинное преобразование перейдет в . Это будет гомоморфизмом.
4) Пусть есть группа , возьмем элемент . Автоморфизм сопряжения с помощью элемента : . Этот автоморфизм нетривиален (не тождественный), если найдется такой, что .
Определение. Группа называется абелевой (коммутативной), если .
Предложение. Если - гомоморфизм, то и .
Здесь - единичный элемент группы , - единичный элемент группы . - обратный к элемент группы , - обратный к элемент группы .
Доказательство.
1) Т.к. , то . Имеем
.
2) , следовательно .
Предложение. Гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда из следует , т.е. полный прообраз единицы равен единице.
Доказательство.
Если мономорфизм и . Т.к. и инъективно, то .
Пусть (полный прообраз) и . Тогда
. По условию , т.е. . Следовательно - инъективно, т.е. является мономорфизмом.
Определение. Пусть отображение - гомоморфизм групп. Тогда ядром этого отображения называется множество , т.е. полный прообраз единицы.
По предыдущему предложению получаем, что - мономорфизм тогда и только тогда, когда .
Упражнение. Пусть - гомоморфизм групп, доказать, что является подгруппой в .
Определение. Подгруппа в группе называется нормальной (обозначается ), если , т.е. если .
Предложение. Пусть - подгруппа в , тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) ;
2) ;
3) каждый правый смежный класс совпадает с левым, т.е. .
Доказательство.
Очевидно.
Надо доказать, что , пусть , тогда . Поэтому , следовательно . Обратно аналогично: , следовательно и .
Мы имеем, что . Возьмем произвольный элемент , тогда , т.е. , но тогда . Мы получили, что . Теперь покажем, что таким образом можно получить любой элемент из , т.е. что . Если , то , следовательно , но тогда . Следовательно .
Пример:
При помощи этого предложения можно доказать, что не является нормальной подгруппой в , т.к. ее левые и правые смежные классы не совпадают.
Теорема. Пусть - гомоморфизм, тогда .
Доказательство.
Сначала докажем, что является подгруппой в .
Если , то и , т.к. .
Если , то и , т.к. .
Теперь докажем нормальность этой подгруппы.
, следовательно и .
Примеры:
1) , . Тогда .
2) , . Тогда .
3) , . Тогда .
Предложение. Если - гомоморфизм и , тогда .
Доказательство.
.
Определение. Пусть , фактор группа - это множество смежных классов по с операцией .
Теорема. - группа.
Доказательство.
Сначала докажем, что операция определена корректно. Пусть и , покажем, что . Имеем и , тогда . Причем , следовательно .
Ассоциативность операции: .
Единичный элемент: .
Обратный элемент: .
Отображение , называется естественным эпиморфизмом.
Теорема. Отображение - эпиморфизм и .
Доказательство.
, т.к. , то у любого смежного класса есть прообраз, следовательно, это эпиморфизм. Т.к. , то .
Теорема (о гомоморфизме). Пусть - гомоморфизм групп, тогда (изоморфно).
Доказательство.
Построим изоморфизм : , . Эта отображение определено корректно, т.к. .
Докажем, что это гомоморфизм:
.
Докажем биективность, т.е. что это изоморфизм. Т.к. , это отображение биективно.
Пример:
Покажем, как при помощи этой теоремы доказать изоморфность . Нам нужно задать гомоморфизм такой, чтобы . Например . Тогда по теореме о гомоморфизме будем иметь, что .
Лекция 3 (17.09.2001)
Теорема. Циклическая группа порядка изоморфна группе .
Доказательство.
Пусть . Зададим гомоморфизм следующим образом: . Это гомоморфизм, т.к. . Тогда по теореме о гомоморфизме имеем .
Упражнение. Бесконечная циклическая группа изоморфна группе .
Определение. Пусть - группа. - произвольное множество. действует на , если есть отображение , т.е. которое паре ставит в соответствие некоторый элемент . Причем и .
Примеры:
1) действует на - -мерном комплексном пространстве, по следующему правилу: пусть - базис, в нем вектор имеет координаты , тогда .
2) Пусть - подгруппа в , тогда действует на по правилу .
3) Пусть и . Имеем естественное действие симметрической группы на множестве .
4) Пусть и - многочлены от неизвестных. Действие определим по правилу .
5) действует на сопряжением . Т.к. и , то это действительно будет действием.
Предложение. Пусть действует на и , тогда отображение является биекцией на множестве .
Доказательство.
Для доказательства этого факта на достаточно указать обратное отображение. Им будет отображение . Оно действительно будет обратным, т.к. и . Следовательно, это биекция.
Определение. Пусть действует на и . Орбита - это множество . Стабилизатор - это множество .
Упражнение. Доказать, что является подгруппой в .
Определение. Пусть - группа . Централизатор - это множество . Класс сопряженных элементов, содержащий - это множество .
Примеры:
1) При действии на - -мерном пространстве будет всего две различные орбиты: все ненулевые векторы (орбита любого ненулевого вектора), ноль (орбита нуля).
2) При действии подгруппы на группе имеем и .
3) При действии на себе сопряжением имеем , .
Предложение. Если орбиты пересекаются, то они совпадают.
Доказательство.
Пусть . имеем , следовательно . имеем . Аналогично имеем .
Предложение. .
Доказательство.
Допустим, что , но тогда . Следовательно существует биекция между множеством орбит и множеством левых смежных классов по . Следовательно - это число различных смежных классов, а по теореме Лагранжа это равно .
Следствие. .
Упражнение. Доказать, что если , то .
Определение. Пусть действует на . Элемент называется неподвижным (инвариантным) относительно этого действия, если , т.е. если .
Примеры:
1) При действии симметрической группы на многочлены неподвижными являются симметрические многочлены.
2) При действии на себе сопряжением имеем, что элемент неподвижен тогда и только тогда, когда . Множество всех неподвижных элементов группы называется центром группы (обозначается ).
Упражнение. - нормальная абелевая подгруппа в .
Теорема. Пусть -поле, тогда .
Доказательство.
Пусть , если она неподвижна, то . Распишем это равенство:
.
В левой матрице на месте стоит элемент , а в правой , следовательно , а остальные элементы нули. Т.к. это верно для любых , то матрица диагональная и по диагонали стоят одинаковые числа, т.е. .
Упражнение. Найдите центры групп и .
Теорема. При .
Доказательство.
Возьмем - любую не единичную подстановку. Разложим ее в произведение независимых циклов:
1) Пусть в этом разложении есть два цикла, т.е. . Возьмем подстановку , тогда .
2) Пусть в этом разложении есть хотя бы один цикл длины 3, т.е. , . Возьмем подстановку , тогда .
3) Пусть в этом разложении есть только один цикл длины 2, т.е. . Т.к. мы работаем в группе при , то найдется . Возьмем подстановку , тогда .
Оставшийся случай - ни одного цикла - это и будет единичная подстановка. Следовательно неподвижной может быть только единичная подстановка.
Упражнение. Докажите, что .
Теорема. Две подстановки из сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое цикловое строение, т.е. наборы длин циклов у них одинаковые.
Доказательство.
. Пусть , тогда . Т.к. , то и , следовательно, эти циклы независимые и мы получили такое же цикловое строение.
. Покажем на примере, как по данным двум подстановкам и найти подстановку , такую что . Пусть и , тогда , следовательно .
Определение. Группа называется -группой, если ее порядок является степенью простого числа .
Теорема. Если - -группа, то .
Доказательство.
Разобьем на классы сопряженных элементов (они не пересекаются) . Одноэлементные классы состоят из одного центрального элемента. Если - не одноэлементный класс, то - делится на . Имеем, что , где отвечает всем одноэлементным классам, а - не одноэлементным. Следовательно , следовательно .
Следствие. Группа порядка ( просто) абелева.
Доказательство.
Если , то по теореме или .
1) Пусть , тогда . Следовательно циклическая, т.е. . Пусть , тогда и пусть , тогда , т.к. . Имеем, что (элементы и перестановочны с и друг с другом, т.к. они центральные). Следовательно - абелева и , т.е. , получили противоречие с тем, что .
2) Если , то , следовательно, группа абелева.
Лекция 4 (24.09.2001)
Теорема (1-ая теорема Силова). Пусть - группа порядка , где - простое число, тогда в группе существует подгруппа порядка .
Доказательство.
Доказательство проведем по индукции по порядку группы.
База индукции.
Если утверждение очевидно, в качестве подгруппы можно взять саму группу.
Индуктивный переход.
1) Пусть в группе существует нецентральный элемент, т.е. . Пусть - класс сопряженных элементов, содержащий . Т.к. , то , кроме того , где - это централизатор элемента . Мы знаем, что всегда является подгруппой.
1а) Пусть , тогда и . Тогда по предположению индукции (т.к. ) в , а значит и в , есть подгруппа порядка .
1б) Пусть , т.е. . Разобьем группу на непересекающиеся классы сопряженных элементов. , . Т.к. , то .
Лемма. Пусть - конечная абелева группа и - простое число, делящее , тогда в есть элемент порядка .
Доказательство.
Проведем индукция по порядку .
База индукции: если утверждение очевидно.
Индуктивный переход.
1) Если порядок какого-нибудь элемента делится на , то пусть , тогда .
2) Пусть порядок любого элемента не делится на . Возьмем произвольный (не единичный) элемент . Рассмотрим , тогда - делится на . По предположению индукции , т.ч. . Рассмотрим в . Пусть - естественный гомоморфизм , тогда . По теореме о гомоморфизме , тогда . Т.е. делит . Т.е. порядок делится на , что противоречит предположению пункта 2. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Мы имеем, что , причем - абелева группа. По лемме в существует элемент порядка . Пусть , тогда и (т.к. - центральный элемент). Тогда . По предположению индукции в есть подгруппа порядка . Рассмотрим естественный гомоморфизм , рассмотрим полный прообраз подгруппы : , т.е. и . По теореме о гомоморфизме и .
2) Если в нет нецентральных элементов, то , т.е. является абелевой группой. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, применив лемму, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. .
Определение. Пусть - конечная группа и , где - простое число и . Тогда подгруппа в порядка называется силовской -подгруппой.
Теорема (2-ая теорема Силова). Пусть - конечная группа, - простое число, делящее порядок группы. Тогда любая -подгруппа (подгруппа порядка ) содержится в некоторой силовской, кроме того любые две силовские подгруппы сопряжены.
Доказательство.
Пусть - -подгруппа в , - силовская -подгруппа. Пусть . Определим действие: действует на на правилу: если , то . - не делится на . Орбита . , где - некая функция от . Разобьем на непересекающиеся орбиты действия . Если все орбиты не одноэлементные, то , что неверно. Следовательно, существует одноэлементная орбита, т.е. существует , такой что , что равносильно условию , но - силовская подгруппа.
Если - силовская, то , т.к. они имеют одинаковый порядок. Следовательно две силовские подгруппы сопряжены.
Теорема (3-я теорема Силова). Пусть - число различных силовских -подгрупп в . Тогда делит и .
Доказательство.
Пусть - множество всех силовских -подгрупп в , тогда . На группа действует сопряжением, т.е. если и , то . По 2-ой теореме Силова множество является орбитой любой силовской -подгруппы. Т.е. при таком действии существует всего одна орбита и , следовательно, .
Пусть , рассмотрим действие в сопряжением. снова разбивается на орбиты, и порядок каждой из них делит и потому является степенью числа . Но инвариантно относительно этого действия, т.е. - это одноэлементная орбита. Пусть есть еще какая-нибудь одноэлементная орбита, например, , т.е. . Пусть .
Лемма. Множество является подгруппой в и .
Доказательство.
Пусть и . Тогда
и
, т.е. - действительно является подгруппой.
Пусть и , где и , тогда
, т.е. . Лемма доказана.
Завершим доказательство теоремы. Рассмотрим эту подгруппу . Тогда , т.е. . Пусть - естественный гомоморфизм. Тогда . Но если , то , где и , тогда , следовательно . В этом случае делит , т.е. - степень числа . Следовательно - степень числа и . Т.к. - силовская, что . Но . Аналогично получаем, что и . Но по предположению и различны, получили противоречие.
Итак в только одна одноэлементная орбита (), значит порядок любой другой орбиты делится на , следовательно, .
Приложения теорем Силова.
1) Возьмем группу , найдем силовские -подгруппы. мы знаем, что , т.е. и силовская -подгруппа имеет порядок . Одна из силовских подгрупп - это подгруппа , остальные ей сопряжены, т.е. равны .
2) Рассмотрим группу . . Ее силовские 2-подгруппы (всего их 3): , , . Ее силовская 3-родгруппа (она всего одна): .
3) Рассмотрим группу . . Силовских 2-подгрупп всего может быть либо 1, либо 3. Возьмем . Рассмотрим подгруппы , , , … Они все силовские и среди них есть различные, следовательно всего существует три силовские 2-подгруппы. Силовские 3-подгруппы (всего их 4): , , и .
Упражнение. Докажите, что если - наименьшее простое число, делящее и - подгруппа индекса (существует всего различных смежных классов по ), то .
|