Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram


Группа G

Определение. Пусть  - группа. Положим . Группа  называется разрешимой, если .

Примеры:
                1) абелевые группы разрешимы, т.е. .
2) , т.к. , следовательно,  - абелевая группа. Следовательно, и  разрешима.
3) При  мы знаем, что . Следовательно,  для любого , и группа  неразрешима.

                Предложение. Пусть  - гомоморфизм групп. Тогда  и, если  - сюръективно, то .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , оба утверждения верны.
1) Пусть для  утверждение верно, докажем его для . . Если , то , где , тогда , т.к. по предположению индукции .
2) Аналогично, пусть для утверждение верно, докажем его для . Нам надо доказать, что для любого элемента  найдется , такой что . Имеем, что , где , по предположению индукции , где . Но тогда , следовательно, .

                Предложение. .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , утверждение верно.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Возьмем произвольный , тогда , где . Пусть , тогда , т.к. по предположению индукции . Следовательно, .

                Упражнение. Пусть  - подгруппа в . Если  - разрешима, то  тоже разрешима.

                Предложение. Если , то следующие два утверждения эквивалентны:
1)  разрешима;
2)  и  разрешимы.
Доказательство.
                .
В силу предыдущего упражнения  будет разрешима. Рассмотрим естественный гомоморфизм , . Этот гомоморфизм всегда сюръективен, следовательно  имеем, что . Т.к.  - разрешима, то , такое что , следовательно  , следовательно  разрешима.
.
Пусть  и . Тогда , следовательно, . Следовательно, , т.е.  разрешима.

                Теорема. Пусть  - группа. Следующие утверждения эквивалентны:
                1)  - разрешима;
                2) существует ряд нормальных подгрупп , такой, что  - абелева.
Доказательство.
                .
Положим , тогда  и  - абелева, т.к. фактор группа по коммутанту всегда абелева.
 (по индукции по ).
База индукции,  . Тогда  и  - абелева, следовательно, разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . В группе  есть ряд длины , следовательно, по предположению индукции  разрешима. Более того,  и  - абелева (разрешима), следовательно и  - разрешима.

                Теорема. Конечная -группа разрешима.
Доказательство. (индукция по порядку группы).
База индукции, , следовательно  - абелева и разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим центр , мы знаем, что ,  - абелева (разрешима) и , т.е.  (разрешима по предположению индукции), следовательно и  разрешима.

                Рассмотрим множество  - множество верхнетреугольных матриц размера  с ненулевыми числами поля  на диагонали. Рассмотрим еще множество  - подмножество в  с единицами на диагонали.

                Упражнение. Докажите, что  - группа по умножению матриц, а  подгруппа в ней.

                Предложение.  и .
Доказательство.
                Рассмотрим отображение , отображение в  - множество наборов из  ненулевых чисел поля . Это отображение действует по правилу . Введем операцию умножения в множестве : . Теперь  - это абелевая группа и   - гомоморфизм групп, причем , следовательно . Следовательно  - это абелевая группа, изоморфная , т.е.  - абелева. Рассмотрим естественный гомоморфизм , тогда . Следовательно, .

                Теорема. Группа  всегда разрешима.
Доказательство.
                Для доказательства теоремы, нам достаточно доказать разрешимость группы  и воспользоваться предыдущим предложением. Докажем это по индукции по .
База индукции, .  - разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим отображение , определенное по следующему правилу: пусть , тогда . Если , то .

               Лемма.  - гомоморфизм групп.
               Доказательство.
.

                Рассмотрим , т.к. , то  - абелева группа (разрешима). Кроме того  - по предположению индукции разрешима. Следовательно  разрешима и  разрешима.





 

Читайте также:

Неабелевая группа

Внешнее произведение групп

Дискретные подгруппы в алгебре

Группа G и ее нормальные подгруппы

Абелевая группа в алгебре

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 4579

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.225.42.99