Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации


Группа G и ее нормальные подгруппы

Определение. Пусть  - группа и  ее нормальные подгруппы. Тогда  является прямым (внутренним) произведением групп , если каждый элемент группы  имеет и притом единственное представление , где . Обозначается  (если операция в группе - сложение, то обозначается  - прямая сумма).

Упражнение. Докажите, что .

                Предложение. Если  и , , , то .
Доказательство.
                Рассмотрим коммутатор , аналогично . Следовательно, , в силу единственности разложения имеем, что , т.е. .

                Следствие. Пусть , , тогда  и .
Доказательство.
                , здесь элемент  перестановочен с элементами  и  при  по предложению.
Имеем .

                Пример.
                , где  - окружность единичного радиуса,  - положительные вещественные числа. Т.е. любое число  представимо и притом однозначно в виде .
Лекция 7 (15.10.2001)

                Теорема. Группа  не представима в виде прямой суммы.
Доказательство. (от противного)
Допустим, что , где , тогда . Возьмем  и , . Рассмотрим элемент , он  и . Получили, что  и  - противоречие с .

                Теорема. Пусть  и , , где . Тогда .
Доказательство.
                Имеем . Следовательно, , т.е.  - это общее кратное порядков элементов . Значит минимальное такое  - НОК порядков.

                Посмотрим, как раскладываются в прямые суммы конечные циклические группы (только что мы доказали, что бесконечные циклические группы не раскладывается, т.к. они изоморфны ).

                Теорема. Если  - конечная группа и , то следующие условия эквивалентны:
                1)  - циклическая;
                2)  - циклические и их порядки  взаимно просты.
Доказательство.
                .  - являются подгруппами в , следовательно, они циклические. Возьмем произвольный , , . Пусть порядки  не взаимно просты, тогда . Тогда , по следствию из теоремы Лагранжа , т.к. . Следовательно, порядок каждого элемента , т.е. группа  не циклическая. Получили противоречие с тем, что порядки  не взаимно просты.
. Имеем, что  и  при . Возьмем элемент , тогда , следовательно .

                Следствие 1. Пусть  - простое число. Циклическая группа порядка  не разложима.

                Следствие 2. Если  и , тогда .
Доказательство.
                Группа  состоит из элементов группы  и ее порядок равен порядок равен .





 

Читайте также:

Неабелевая группа

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Линейное пространство

Алгебра Вейля

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 2941

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.159.140.188