Группа G и ее нормальные подгруппы

Определение. Пусть - группа и ее нормальные подгруппы. Тогда является прямым (внутренним) произведением групп , если каждый элемент группы имеет и притом единственное представление , где . Обозначается (если операция в группе - сложение, то обозначается - прямая сумма).

Упражнение. Докажите, что .

Предложение. Если и , , , то .
Доказательство.
Рассмотрим коммутатор , аналогично . Следовательно, , в силу единственности разложения имеем, что , т.е. .

Следствие. Пусть , , тогда и .
Доказательство.
, здесь элемент перестановочен с элементами и при по предложению.
Имеем .

Пример.
, где - окружность единичного радиуса, - положительные вещественные числа. Т.е. любое число представимо и притом однозначно в виде .
Лекция 7 (15.10.2001)

Теорема. Группа не представима в виде прямой суммы.
Доказательство. (от противного)
Допустим, что , где , тогда . Возьмем и , . Рассмотрим элемент , он и . Получили, что и - противоречие с .

Теорема. Пусть и , , где . Тогда .
Доказательство.
Имеем . Следовательно, , т.е. - это общее кратное порядков элементов . Значит минимальное такое - НОК порядков.

Посмотрим, как раскладываются в прямые суммы конечные циклические группы (только что мы доказали, что бесконечные циклические группы не раскладывается, т.к. они изоморфны ).

                Теорема. Если - конечная группа и , то следующие условия эквивалентны:
                1) - циклическая;
                2) - циклические и их порядки взаимно просты.
Доказательство.
                . - являются подгруппами в , следовательно, они циклические. Возьмем произвольный , , . Пусть порядки не взаимно просты, тогда . Тогда , по следствию из теоремы Лагранжа , т.к. . Следовательно, порядок каждого элемента , т.е. группа не циклическая. Получили противоречие с тем, что порядки не взаимно просты.
. Имеем, что и при . Возьмем элемент , тогда , следовательно .