Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения , для которой выполнены следующие свойства: и . Определение. Полем называется коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный. Определение. Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Примеры: Определение. Пусть - поле. Кольцо , являющееся векторным пространством над , называется - алгеброй, если . Упражнение. В антикоммутативной алгебре (кольце) выполнено тождество . Упражнение. Пусть - ассоциативная алгебра, положим . Докажите, что относительно нового умножения является алгеброй Ли. Определение. Элемент алгебры с единицей называется обратимым, если . Определение. Элемент называется левым (правым) делителем нуля, если (). Предложение. Все обратимые элементы ассоциативной алгебры с единицей образуют группу по умножению. Обратимый элемент не может быть делителем нуля. Определение. Алгебра называется областью, если в ней нет делителей нуля. Определение. Подалгеброй в алгебре называется подпространство, являющееся кольцом, для которого выполнены свойства: Пусть - ассоциативная -алгебра с единицей, и пусть . Рассмотрим множество - все такие конечные суммы. Упражнение. является наименьшей подалгеброй с единицей в , содержащей элемент . Определение. Идеалом кольца (алгебры) называется подгруппа аддитивной группы (подпространство), такая что если , , то и . Т.е. идеал выдерживает умножение слева и справа на все элементы кольца (алгебры). Определение. Кольцо (алгебра) называется простым, если в нем всего два идеала: 0 и оно само. Предложение. Пусть в ассоциативной алгебре с единицей идеал содержит обратимый элемент, тогда идеал совпадает со всей алгеброй. Следствие. Любое тело, любое поле всегда просты. Пусть - ассоциативная коммутативная алгебра с 1 и . Рассмотрим множество . Упражнение. - идеал в , содержащий . называется главным идеалом, порожденным элементом . Определение. Коммутативная ассоциативная область (без делителей нуля) с единицей называется кольцом (алгеброй) главных идеалов, если в нем любой идеал главный. Например в кольце целых чисел любой идеал всегда подгруппа, т.е. , т.е. любой идеал главный и это кольцо главных идеалов. Теорема. Пусть - поле. Тогда - кольцо главных идеалов. Упражнение. Доказать, что кольцо не является кольцом главных идеалов. Указание: рассмотреть идеал - все многочлены с нулевым свободных членов и доказать, что он не является главным. Рассмотрим кольцо . Теорема. - кольцо главных идеалов. Лемма. Пусть , тогда существуют такие , что , причем .
Пусть теперь , . Выберем такое, что его норма минимальна. Далее рассуждая также как и в прошлой теореме с многочленами (применяя описанное выше деление с остатком), получаем, что все остальные числа делятся на него, т.е. - главный идеал и - кольцо главных идеалов. Теперь мы перейдем к рассмотрению некоммутативных колец. Пусть - ассоциативное кольцо с единицей, . Пусть - квадратные матрицы с коэффициентами из кольца . Упражнение. . Теорема. Пусть . Тогда , такой что . Напомним, что кольцо (алгебра) называется простым, если в нем только два идеала: ноль и оно само. Следствие. Если - тело, то - простое кольцо. Определение. Отображение называется гомоморфизмом алгебр, если Предложение. . Упражнение. тогда и только тогда, когда - мономорфизм. Пусть , где - тело. Тогда , но в всего для идеала: ноль и оно само. Следовательно, либо - нулевой, либо мономорфизм. Пусть , тогда - подгруппа в (по сложению), причем нормальная, следовательно - факторгруппа (по сложению), т.е. . Тогда Предложение. Умножение и умножение на скаляры определены корректно. Идеалы и факторгруппы строятся в любом кольце (не только в ассоциативном или коммутативном). - факторалгебра (факторкольцо). Упражнение. является эпиморфизмом и . Теорема (о гомоморфизме). Пусть , тогда - подалгебра, изоморфная . Примеры: Если - подполе в , тогда является алгеброй над . Все автоморфизмы как алгебры над образуют группу Галуа . |
Группа G и ее нормальные подгруппы Алгебра с умножением называется алгеброй Ли Вернуться в оглавление: Алгебра |