Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Загрузка...

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

                Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения , для которой выполнены следующие свойства:  и .
Кольцо называется коммутативным, если .
Кольцо называется ассоциативным, если .
Кольцо называется антикоммутативным, если .
Кольцо называется кольцом Ли, если .
В любом кольце . Действительно  и .
Элемент  в кольце называется единицей, если .

                Определение. Полем называется коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный.

Определение. Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры:
               
                 - поле кватернионов. Это действительно будет полем, т.к. , если матрица ненулевая, следовательно у нее существует обратная: .

                Определение. Пусть  - поле. Кольцо , являющееся векторным пространством над , называется - алгеброй, если .

Упражнение. В антикоммутативной алгебре (кольце) выполнено тождество .

                Упражнение. Пусть  - ассоциативная алгебра, положим . Докажите, что  относительно нового умножения  является алгеброй Ли.

                Определение. Элемент  алгебры  с единицей называется обратимым, если .

Определение. Элемент  называется левым (правым) делителем нуля, если  ().

Предложение. Все обратимые элементы ассоциативной алгебры с единицей образуют группу по умножению. Обратимый элемент не может быть делителем нуля.
Доказательство.
                Если  - обратимы, тогда  - обратим, .
Если  - обратим, то и  - обратим, .
Следовательно это действительно группа по умножению.
Пусть  обратим и , тогда , что противоречит определению делителя нуля.

                Определение. Алгебра называется областью, если в ней нет делителей нуля.

Определение. Подалгеброй в алгебре  называется подпространство, являющееся кольцом, для которого выполнены свойства:
                1) ,
                2)  не пусто.

Пусть  - ассоциативная -алгебра с единицей, и пусть . Рассмотрим множество  - все такие конечные суммы.

                Упражнение.  является наименьшей подалгеброй с единицей в , содержащей элемент .

                Определение. Идеалом  кольца (алгебры) называется подгруппа аддитивной группы (подпространство), такая что если , , то  и . Т.е. идеал выдерживает умножение слева и справа на все элементы кольца (алгебры).

Определение. Кольцо (алгебра) называется простым, если в нем всего два идеала: 0 и оно само.

Предложение. Пусть в ассоциативной алгебре с единицей идеал содержит обратимый элемент, тогда идеал совпадает со всей алгеброй.
Доказательство.
                Пусть  - обратимый и . Если , то , следовательно .

                Следствие. Любое тело, любое поле всегда просты.

                Пусть  - ассоциативная коммутативная алгебра с 1 и . Рассмотрим множество .

                Упражнение.  - идеал в , содержащий .

                 называется главным идеалом, порожденным элементом .
Лекция 12 (19.11.2001)

                Определение. Коммутативная ассоциативная область (без делителей нуля) с единицей называется кольцом (алгеброй) главных идеалов, если в нем любой идеал главный.

Например в кольце целых чисел  любой идеал всегда подгруппа, т.е. , т.е. любой идеал главный и это кольцо главных идеалов.

                Теорема. Пусть  - поле. Тогда  - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
                Пусть  и . Пусть  - многочлен наименьшей степени. Пусть , тогда мы можем поделить  на  с остатком: , где либо , либо . Но , следовательно, . Т.к. у  была наименьшая степень, то , т.е. . Следовательно  - главный идеал, порожденный многочленом  и  - кольцо главных идеалов.

                Упражнение. Доказать, что кольцо  не является кольцом главных идеалов. Указание: рассмотреть идеал  - все многочлены с нулевым свободных членов и доказать, что он не является главным.

                Рассмотрим кольцо .

                Теорема.  - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
                Выведем на этом множестве аналог алгоритма Евклида (деление с остатком). Введем норму , тогда .

               Лемма. Пусть , тогда  существуют такие , что , причем .
               Доказательство.
Подпись:                 Рассмотрим все числа вида . Получим что-то типа решетки, сторона квадрата - это . Возьмем произвольное число . Оно попадет в один из таких квадратов, тогда расстояние от не до какой-то вершины квадрата будет не больше .
В качестве числа  возьмем такое число, чтобы  была эта вершина.  - вектор от этой вершины до . Тогда .

 

                Пусть теперь , . Выберем  такое, что его норма минимальна. Далее рассуждая также как и в прошлой теореме с многочленами (применяя описанное выше деление с остатком), получаем, что все остальные числа делятся на него, т.е.  - главный идеал и  - кольцо главных идеалов.

                Теперь мы перейдем к рассмотрению некоммутативных колец. Пусть  - ассоциативное кольцо с единицей, . Пусть  - квадратные матрицы с коэффициентами из кольца .

                Упражнение. .

                Теорема. Пусть . Тогда , такой что .
Доказательство.
                Пусть . Докажем, что . Пусть  и , тогда , следовательно, . Аналогично , следовательно, .
Пусть , тогда . Следовательно, , т.е. все коэффициенты матриц из  содержатся в идеале . Следовательно . Пусть ,  - произвольная матрица из . Тогда . Следовательно , т.е. .

                Напомним, что кольцо (алгебра)  называется простым, если в нем только два идеала: ноль и оно само.

                Следствие. Если  - тело, то  - простое кольцо.

                Определение. Отображение  называется гомоморфизмом алгебр, если
                1) ,
                2) ,
                3) .
Изоморфизмом  называется биективный гомоморфизм.
Автоморфизмом называется изоморфизм алгебры на себя.
Мономорфизмом называется инъективный гомоморфизм.
Эпиморфизмом называется сюръективный гомоморфизм.
Ядром гомоморфизма называется полный прообраз нуля .

Предложение. .
                Доказательство.
                Пусть , тогда .
Пусть , , тогда .

                Упражнение.  тогда и только тогда, когда  - мономорфизм.

                Пусть , где  - тело. Тогда , но в  всего для идеала: ноль и оно само. Следовательно, либо  - нулевой, либо мономорфизм.

                Пусть , тогда  - подгруппа в  (по сложению), причем нормальная, следовательно  - факторгруппа (по сложению), т.е. . Тогда

                Предложение. Умножение  и умножение на скаляры  определены корректно.
Доказательство.
                , .
, , .
.
Следовательно умножение  определено корректно.
.
Следовательно умножение на скаляры  определено корректно.

                Идеалы и факторгруппы строятся в любом кольце (не только в ассоциативном или коммутативном).  - факторалгебра (факторкольцо).
Рассмотрим гомоморфизм , т.ч.  (естественный гомоморфизм).

                Упражнение.  является эпиморфизмом и .

                Теорема (о гомоморфизме). Пусть , тогда  - подалгебра, изоморфная .
Доказательство.
                Определим изоморфизм  следующим образом:  (см. теорему о гомоморфизме в теории групп). Проверим некоторые свойства изоморфизма (остальные проверены в теории групп):

, следовательно это изоморфизм.

                Примеры:
1) . Гомоморфизм , где  - остаток от деления  на , тогда .
2) . Гомоморфизм , где , тогда .
3) . Гомоморфизм , где , тогда .

                Если  - подполе в , тогда  является алгеброй над . Все автоморфизмы  как алгебры над  образуют группу Галуа .





 

Читайте также:

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Линейное пространство

Группы алгебра

Алгебра Вейля

Дискретные подгруппы в алгебре

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 7677

 
 

54.167.195.84 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.