Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации


Абелевая группа в алгебре

                Определение. Абелевая группа  называется конечно-порожденной, если , такие что , где .

Упражнение. Доказать, что  не конечно-порожденная.

                Определение. Абелевая группа  называется свободной, если в ней есть базис, т.е. такой набор элементов , что .

Теорема. Абелевая группа  свободна тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
                . Пусть  - базис , тогда если , то , . Возьмем отображение  по правилу .  - это изоморфизм, следовательно .
. Пусть . Предъявим базис в : , тогда .

                Определение. Ранг свободной абелевой группы равен числу векторов в базисе.

Теорема. Ранг свободной абелевой группы определен однозначно.
Доказательство.
                Мы докажем эту теорему немного необычным, но красивым способом.
                Пусть  имеем базис , рассмотрим группу . Пусть  - гомоморфизм. Если , то . Таким образом  однозначно задается значениями на базисных элементах: . Следовательно всего различных гомоморфизмов будет . Пусть в  есть базис из  элементов, тогда .

                Теорема. Пусть  - свободная абелевая группа ранга  и  - подгруппа в . Тогда  - свободная абелевая группа ранга .
Примечание. В подобной теореме о размерности линейных пространств из совпадения размерностей. следовало совпадение подгруппы с самой группой, однако здесь это не верно. Пример: группа  и подгруппа  имеют ранг .
Доказательство. (по индукции)
, имеем, что  и утверждение теоремы выполнены, т.к. любая бесконечная подгруппа  является изоморфной , т.е. свободной абелевой ранга .
Пусть для  теорема доказана. Докажем ее для . Пусть  - базис в . Рассмотрим множество  - линейная оболочка первых  базисных элементов (является свободной абелевой группой с базисом . Рассмотрим отображение  такое, что если , то . Тогда  - это эпиморфизм и .  - это подгруппа в .
Если , то  и (по предположению индукции)  - свободная абелевая группа ранга .
Если , то .  - свободная подгруппа в  с базисом ,  (по предположению индукции), следовательно  - свободная подгруппа в .  элемент , такой что . Покажем, что  - базис в , .
Пусть , тогда , , тогда , следовательно, . Т.е.  и . Существование представления мы доказали, осталось доказать его единственность, для этого достаточно доказать, что из  следует, что все . Имеем  и от нашего равенства остается . Следовательно, т.к.  - базис в  и все остальные коэффициенты  равны нулю.





 

Читайте также:

Линейное пространство

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Группа G

Евклидово пространство

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 4596

 
 

54.166.211.248 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.