Пусть нам задано евклидово пространство размерности . Пусть нам также задана метрика , где - скалярное произведение векторов и . Движение пространства - это биективное преобразование пространства , сохраняющее расстояние между векторами, т.е. . Упражнение. Будет ли произвольное преобразование, сохраняющее длины, биекцией? Теорема. Пусть - движение, тогда , где - ортогональное преобразование и - некоторый вектор. Также верно и обратное утверждение. Рассмотрим множество - все движения пространства . Теорема. - группа относительно операции композиции преобразований. Рассмотрим множество - множество всех сдвигов. Из формулы последней теоремы видно, что - это подгруппа в . Рассмотрим также множество - множество всех ортогональных преобразований , это множество также будет подгруппой в . Теорема. Сопоставление движению его дифференциала является эпиморфизмом , причем ядро этого эпиморфизма равно . Следствие. и . Предложение. . Определение. Подгруппа в называется кристалло-графической, если Опишем все кристалло-графические группы в двумерном случае. Предложение. Если и , то . Пусть - базис в (это также будет базис во всем линейном пространстве ). В группе лежат все целочисленные комбинации этих векторов, т.е. целочисленная решетка, порожденная этими векторами. Предыдущим упражнением мы доказали, что группа переводит эту решетку в себя. Матрица любого оператора целочисленная в базисе , т.е. - это целое число. Теорема. Пусть и - группа ортогональных операторов с определителем (т.е. содержит только собственные преобразования). Тогда - циклическая группа порядка .
В этой таблице не все матрицы целочисленные, однако существуют такие базисы (для каждого случая он свой), что в них эти матрицы будут целочисленными. Например, в базисе , где вектор повернут относительно на угол матрица поворота на угол будет иметь вид (тогда все матрицы в случае группы порядка 3), а если повернут относительно на угол , то матрица поворота на угол имеет вид (тогда все матрицы в случае группы порядка 6 будут целочисленные). Теорема. Пусть и , т.е. в есть несобственное преобразование (преобразование с определителем ), тогда - одна из следующих групп: Покажем теперь, как можно получить все эти варианты групп (пусть - базис): Двумерный случай разобран полностью. Есть также теорема, утверждающая, что порядок конечной подгруппы в группе ортогональных матриц ограничен для каждого числом (в случае имеем ), т.е. таких групп конечное число для любого . |
Дискретные подгруппы в алгебре Группа G и ее нормальные подгруппы Вернуться в оглавление: Алгебра |