Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram


Евклидово пространство

Пусть нам задано евклидово пространство  размерности . Пусть нам также задана метрика , где  - скалярное произведение векторов  и . Движение пространства  - это биективное преобразование  пространства  , сохраняющее расстояние между векторами, т.е. .

                Упражнение. Будет ли произвольное преобразование, сохраняющее длины, биекцией?

                Теорема. Пусть  - движение, тогда , где  - ортогональное преобразование  и  - некоторый вектор. Также верно и обратное утверждение.
Доказательство этой теоремы было в курсе Линейной Алгебры.

                Рассмотрим множество  - все движения пространства .

                Теорема.  - группа относительно операции композиции преобразований.
Доказательство.
                Пусть  и , тогда  - снова движение.
Единичное преобразование - это тождественное преобразование.
Обратное преобразование - это .

                Рассмотрим множество  - множество всех сдвигов. Из формулы последней теоремы видно, что  - это подгруппа в . Рассмотрим также множество  - множество всех ортогональных преобразований , это множество также будет подгруппой в .
По первой теореме произвольное преобразование имеет вид . В этой записи вектор  определен однозначно, т.к. . Следовательно и ортогональное преобразование  определено однозначно. Это преобразование  называется дифференциалом преобразования  и обозначается .
Из формулы второй теоремы имеем, что , т.е. дифференциал обладает свойством мультипликативности.

                Теорема. Сопоставление движению  его дифференциала  является эпиморфизмом , причем ядро этого эпиморфизма равно .
Доказательство.
                То, что это гомоморфизм групп следует из свойства мультипликативности дифференциала. Если , то , следовательно этот гомоморфизм сюръективен (т.е. это эпиморфизм). Ядро - это все движения, дифференциал которых равен тождественному преобразованию, т.е. все движения вида , т.е. множество сдвигов .

                Следствие.  и .

                Предложение. .
Доказательство.
                Пусть  - сдвиг на вектор , сопоставим такому преобразованию этот вектор . Тогда, если - сдвиг на вектор ,  - сдвиг на вектор . Это сопоставление преобразованию вектора является биективным, следовательно .

                Определение. Подгруппа  в  называется кристалло-графической, если
1)  - дискретная подгруппа группы  ранга ,
2)  - конечная группа.

Опишем все кристалло-графические группы в двумерном случае.

                Предложение. Если  и , то .
Доказательство.
                Пусть  - сдвиг на , и  - преобразование с дифференциалом . Тогда , следовательно  (т.к.  - нормальна).

                Пусть  - базис в  (это также будет базис во всем линейном пространстве ). В группе  лежат все целочисленные комбинации этих векторов, т.е. целочисленная решетка, порожденная этими векторами. Предыдущим упражнением мы доказали, что группа  переводит эту решетку в себя. Матрица любого оператора  целочисленная в базисе , т.е.  - это целое число.
Группа  называется пространственной группой.
Группа  называется точечной группой.

                Теорема. Пусть  и  - группа ортогональных операторов с определителем  (т.е.  содержит только собственные преобразования). Тогда  - циклическая группа порядка .
Доказательство.
                Пусть - ортогональный базис пространства  и , тогда его матрица имеет вид . Кроме того, ее след  - целое число. Следовательно , т.е. . Укажем все возможные варианты группы  в зависимости о того, какие повороты в ней лежат:


повороты, лежащие в группе

элементы группы

порядок

1

2

3

4


6

                В этой таблице не все матрицы целочисленные, однако существуют такие базисы (для каждого случая он свой), что в них эти матрицы будут целочисленными. Например, в базисе , где вектор  повернут относительно  на угол  матрица поворота на угол  будет иметь вид  (тогда все матрицы в случае группы порядка 3), а если  повернут относительно на угол , то матрица поворота на угол  имеет вид  (тогда все матрицы в случае группы порядка 6 будут целочисленные).

                Теорема. Пусть  и , т.е. в  есть несобственное преобразование (преобразование с определителем ), тогда  - одна из следующих групп:
                1) ,
                2) ,
                3) циклическая группа порядка .
Доказательство.
                Пусть  и . Если  и , тогда .  - это отражение относительно некоторой оси, следовательно матрица  в некотором базисе имеет вид , но в любом базисе имеем .
Имеем, что , где .  - подгруппа индекса 2 в , следовательно  и . Т.к.  - это снова симметрия относительно некоторой оси, то  и , т.к. . Следовательно группа  - это группа диэдра.
В случае  эта группа превращается в группу .
В случае  это циклическая группа порядка 2.

                Покажем теперь, как можно получить все эти варианты групп  (пусть  - базис):
1) если  не перпендикулярны и имеют разные длины, то , где  - центральная симметрия;
2) если  перпендикулярны и имеют разные длины, то ;
3) если  перпендикулярны и имеют одинаковые длины, то ;
4) если  не перпендикулярны, имеют равные длины и не образуют правильный треугольник, то ;
5) если  образуют правильные треугольник, то .
6) также допустимы подгруппы этих групп, таким образом, получаются все указанные нами группы.

                Двумерный случай разобран полностью. Есть также теорема, утверждающая, что порядок конечной подгруппы в группе ортогональных матриц ограничен для каждого  числом  (в случае  имеем ), т.е. таких групп  конечное число для любого .
Приведем описание (без доказательства) трехмерного случая:
Пусть  - конечная подгруппа в , тогда  - это:
1) циклическая группа порядка ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .





 

Читайте также:

Группа G и ее нормальные подгруппы

Гомоморфизм | Мономорфизм | Эпиморфизм | Изоморфизм | Автоморфизм в алгебре

Линейное пространство

Группы алгебра

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 4511

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.205.159.168