A.3. Условная вероятность

Попробуем построить обобщенную формулу для вероятности суммарного события (А.5) на ситуацию, когда отдельные события А и В могут оказаться совместными, т.е. произойти одновременно. В этом случае p(A v B) ≠ p(A) + p(B). Действительно: пусть по-прежнему событие А выполняется при т₁ из п равновероятных исходов опыта, а событие В - при m₂ из тех же п возможных исходов. Однако из-за того, что возможно совместное наступление А и В, исходы m₁ и т₂ окажутся не полностью различными, т.е. среди них могут быть одни и те же. Тогда суммарное количество благоприятных исходов т ≤ т₁ + т₂и, следовательно, p(A v B) ≤ р(А) + р(В).

Пусть среди т₁ и т₂ имеются т' общих исходов; очевидно, это те случаи, когда А и В наступают одновременно. Следовательно, вероятность совместного события

а общее количество различных благоприятных исходов оказывается равным т = т₁ + т₂- т'. Тогда вероятность

Окончательно:

Таким образом, при определении вероятности суммы двух событий (A v B) в общем случае требуется находить и вероятность их произведения (А ^ В). Это несложно сделать, если события А и В независимы - в этом случае можно воспользоваться формулой (А.9), подстановка которой в (А. 12) дает: