Метод активного двухполюсника и эквивалентного генератора

В том случае, когда необходимо определить ток в какой-либо ветви без определения токов в других ветвях, применяется метод активного двухполюсника и эквивалентного генератора.

Ветвь, в которой необходимо определить ток, выделяется, а вся остальная схема заменяется активным двухполюсником. Так, схема (рис. 10) преобразуется следующим образом (рис. 11):

Активный двухполюсник может быть заменён эквива­лентным генератором напряжения с ЭДС Е, равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой выделенной ветви nd и внутренним сопротивлением , равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно зажимов " n " и " d ".

Напряжение холостого хода берётся в направлении тока выделенной ветви в исходной схеме, т.е. от узла n к узлу d (). Причём это напряжение холостого хода определяется по схеме рис. 14, которая получается, если в выделенной ветви осуществить режим холостого хода введением разомкнутого ключа К.

Тогда ток в выделенной ветви определяется по формуле:

. (46)

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора мо­жет быть вычислено двумя способами:

1) непосредственно по схеме, для чего активный двух­полюсник преобразуется в пассивный. Идеальные источ­ники ЭДС, имеющиеся в активном двухполюснике, за­корачиваются, а ветви с источником тока размыкаются; вместо реальных источников в пассивной схеме должны оставаться их внутренние сопротивления;

2) по формуле:

, (47)

где ток короткого замыкания выделенной ветви nd (рис. 13) который может быть вычислен при закорачивании зажимов n и d, если схема активного двухполюсника известна, либо определён опытным путем. Напряжение холостого хода так­же может быть определено любым методом расчёта линейных электрических цепей или найдено опытным путём.

Разомкнём ветвь nd в заданной схеме. Получим новую схему (рис. 14), в ко­торой четыре узла: а, в, с, d (У=4) и пять ветвей (В=5): ав, ас, аd, сd, вd.

По первому закону Кирхгофа можно составить К₁=У-1=3 уравнения, по второму закону Кирхгофа К₂=В-(У-1)=5-3=2 уравнения.

Если эту схему рассчитывать методом узловых потенциа­лов, то придётся составить схему из трёх узловых уравнений.

Рис. 14

Если же схему рассчитывать методом контурных токов, то надо будет составить систему из двух контурных уравнений.

Очевидно, что в данном случае использование метода контурных токов дает некоторую экономию времени расчёта.

Исходя из этих соображений, определим напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви nd методом кон­турных токов.

В схеме на рис. 14 выберем произвольно направления токов в ветвях и выберем два независимых контурах авdа и авса.

Контурные токи и направим по часовой стрелке в соответствующих контурах авdа и авса.

Решим систему уравнений:

(48)

;

;

;

;

.

Условимся, что в схеме рис. 14 ток от источника тока проходит по контуру nсаd. Тогда сопротивление первого контура, по которому проходит ток от источника тока будет равно

.

Сопротивление , второго контура, по которому проходит ток от источника тока

.

Сопротивления и взяты положительными, так как направления контурных токов и совпадают с током от источника тока.

После подстановки численных значений система уравне­ний примет вид

Решаем эту систему уравнений:

;

;

;

;

.

Находим токи в схеме по контурным токам:

;

;

;

;

.

Токи в схеме рис. 14 рассчитаны правильно, так как подстановка токов и в систему уравнений (48) даёт тождества

Примем за нуль потенциал точки d:

Тогда:

;

;

.

Напряжение холостого хода па на зажимах разомкнутой ветви равно:

.

Находим входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов n и d. Преобразуем схему рис. 14 в пассивный двухполюсник, для чего закорачиваем источники ЭДС Е₂ и Е₃ и размыкаем ветвь с источником тока . По определению, сопротивление источника тока равно бесконечности, что эквивалентно размыканию ветви с источником то­ка. Поэтому эта ветвь не будет участвовать в преобразованиях схемы.

В схеме рис. 15 можно преобразовать звезду резисторов R₂, R₄, R₅ в эквивалентный треугольник или же любой из треу­гольников резисторов R₁, R₄, R₂ и R₄, R₅, R₆ в эквивалентную звезду. Указанные преобразования равноправны. Преобразуем треугольник резисторов R₄, R₅, R₆ в эквивалентную звезду R₄₅, R_46, R₅₆ (рис. 16).

; (49)

; (50)

. (51)

По схеме рис. 16 находим входное сопротивление пассивного двухполюсника:

;

.

Рассчитаем ток :

.

Как видим, величина тока точно совпадает с расчётными значениями, определёнными методом контурных токов и мето­дом узловых потенциалов.