В том случае, когда необходимо определить ток в какой-либо ветви без определения токов в других ветвях, применяется метод активного двухполюсника и эквивалентного генератора.
Ветвь, в которой необходимо определить ток, выделяется, а вся остальная схема заменяется активным двухполюсником. Так, схема (рис. 10) преобразуется следующим образом (рис. 11):
Активный двухполюсник может быть заменён эквивалентным генератором напряжения с ЭДС Е, равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой выделенной ветви nd и внутренним сопротивлением , равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно зажимов " n " и " d ".
Напряжение холостого хода берётся в направлении тока выделенной ветви в исходной схеме, т.е. от узла n к узлу d (). Причём это напряжение холостого хода определяется по схеме рис. 14, которая получается, если в выделенной ветви осуществить режим холостого хода введением разомкнутого ключа К.
Тогда ток в выделенной ветви определяется по формуле:
. (46)
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора может быть вычислено двумя способами:
1) непосредственно по схеме, для чего активный двухполюсник преобразуется в пассивный. Идеальные источники ЭДС, имеющиеся в активном двухполюснике, закорачиваются, а ветви с источником тока размыкаются; вместо реальных источников в пассивной схеме должны оставаться их внутренние сопротивления;
2) по формуле:
, (47)
где ток короткого замыкания выделенной ветви nd (рис. 13) который может быть вычислен при закорачивании зажимов n и d, если схема активного двухполюсника известна, либо определён опытным путем. Напряжение холостого хода также может быть определено любым методом расчёта линейных электрических цепей или найдено опытным путём.
Разомкнём ветвь nd в заданной схеме. Получим новую схему (рис. 14), в которой четыре узла: а, в, с, d (У=4) и пять ветвей (В=5): ав, ас, аd, сd, вd.
По первому закону Кирхгофа можно составить К1=У-1=3 уравнения, по второму закону Кирхгофа К2=В-(У-1)=5-3=2 уравнения.
Если эту схему рассчитывать методом узловых потенциалов, то придётся составить схему из трёх узловых уравнений.
|
Если же схему рассчитывать методом контурных токов, то надо будет составить систему из двух контурных уравнений.
Очевидно, что в данном случае использование метода контурных токов дает некоторую экономию времени расчёта.
Исходя из этих соображений, определим напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви nd методом контурных токов.
В схеме на рис. 14 выберем произвольно направления токов в ветвях и выберем два независимых контурах авdа и авса.
Контурные токи и направим по часовой стрелке в соответствующих контурах авdа и авса.
Решим систему уравнений:
(48)
;
;
;
;
.
Условимся, что в схеме рис. 14 ток от источника тока проходит по контуру nсаd. Тогда сопротивление первого контура, по которому проходит ток от источника тока будет равно
.
Сопротивление , второго контура, по которому проходит ток от источника тока
.
Сопротивления и взяты положительными, так как направления контурных токов и совпадают с током от источника тока.
После подстановки численных значений система уравнений примет вид
Решаем эту систему уравнений:
;
;
;
;
.
Находим токи в схеме по контурным токам:
;
;
;
;
.
Токи в схеме рис. 14 рассчитаны правильно, так как подстановка токов и в систему уравнений (48) даёт тождества
Примем за нуль потенциал точки d:
Тогда:
;
;
.
Напряжение холостого хода па на зажимах разомкнутой ветви равно:
.
Находим входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов n и d. Преобразуем схему рис. 14 в пассивный двухполюсник, для чего закорачиваем источники ЭДС Е2 и Е3 и размыкаем ветвь с источником тока . По определению, сопротивление источника тока равно бесконечности, что эквивалентно размыканию ветви с источником тока. Поэтому эта ветвь не будет участвовать в преобразованиях схемы.
В схеме рис. 15 можно преобразовать звезду резисторов R2, R4, R5 в эквивалентный треугольник или же любой из треугольников резисторов R1, R4, R2 и R4, R5, R6 в эквивалентную звезду. Указанные преобразования равноправны. Преобразуем треугольник резисторов R4, R5, R6 в эквивалентную звезду R45, R46, R56 (рис. 16).
; (49)
; (50)
. (51)
По схеме рис. 16 находим входное сопротивление пассивного двухполюсника:
;
.
Рассчитаем ток :
.
Как видим, величина тока точно совпадает с расчётными значениями, определёнными методом контурных токов и методом узловых потенциалов.