Числовые характеристики сигналов и помех

Энергетические характеристики. Основными энер­гетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) явля­ются его мощность и энергия.

Если S (t) — напряжение u(t) или ток i(t), то мгновенная мощ­ность, выделяемая на активном сопротивлении R, определяется через квадрат мгновенного значения

p(t)=u²(t)/R=i²(t)R

Обычно в теории электросвязи принимают R=l Ом (кроме особо оговариваемых случаев), и тогда в общем виде

p(t)=s²(t).

Принятие такого условия связано с тем, что, как правило, инте­ресуются не конкретным значением мощности, а отношениями мощностей сигнала и помехи. При вычислении отношения сопро­тивление R сокращается и для упрощения вычислений его можно принять единичным.

Энергия сигнала на интервале (t_1, t₂) определяется как интег­рал от мгновенной мощности

(2.26)
Отношение

(2.27)

имеет смысл средней мощности P_s = s²(/) на интервале t₁ ,...,t₂- Напомним, что волнистая черта означает усреднение по времени. Для случайных сигналов (помех) среднюю мощность можно вы­числить по спектральной плотности мощности Gx(f)- Поскольку функция G_x(f) показывает распределение мощности по частотам (см. (2.22)), полная мощность выражается интегралом

(2.28)

Чтобы найти, например, мощность случайного сигнала (поме­хи), заключенную в полосе частот f₁...f₂, надо провести интегри­рование (2.28) в этой полосе:

(2.29)

Пример 2.7. Вычислить среднюю мощность Р_т белого шума со спектральной мощностью
G_x(f)=N₀=10^-6 В²/Гц в полосеDf=3100 Гц.

Устанавливая в (2.29) пределы интегрирования от f до f+ получим сред­нюю мощность шума

(2.30)

Распределение мощности в спектре периоди­ческого сигнала. Средняя мощность периодического сиг­нала, рассматриваемая на всей оси времени, совпадает со средней мощностью за период Т.

Для гармонического сигнала u(t)=u_mcos(wt+y₀) согласнo(2.27) средняя мощность

(2.31)

не зависит ни от частоты, ни от начальной фазы.

Поскольку периодический сигнал s(t) можно представить в ви­де тригонометрического ряда Фурье (2.6) и интеграл суммы ра­вен сумме интегралов, из (2.27) и (2.31) следует

(2.32)

Итак, полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной со­ставляющей Aо/2 и гармониками с амплитудами Am1, Am₂,..., при­чем средняя мощность не зависит от частот и фаз отдельных гармоник.

Уровни сигналов (помех). Под уровнем понимают отношение значений мощности Р_х или напряжения U_x в рассмат­риваемой точке х к значению мощности Р_о или напряжения U_o, выбранными для сравнения. Поскольку значения мощности (на­пряжения) могут изменяться в больших пределах (десятки и сот­ни раз), для измерения уровней введена логарифмическая вели­чина уровня - децибел (дБ), равная 10lg(P_x/P₀)— по мощ­ности и 20lg(U_x/U₀)— по напряжению. В качестве абсолютного нулевого уровня для сравнения в технике проводной связи выб­рана мощность Ро = 1 мВт, рассеиваемая на сопротивлении R — = 600 Ом. Тогда

Децибелы, опре­деленные относительно уровня Р_о = 1 мВт, называются децибел-милливаттом и обозначаются дБм.

При логарифмической единице измерения уровней такая ха­рактеристика качества, как отношение сигнал-помеха будет равна разности уровней сигнала L_s и помехи L_n, так как динамический диапазон и коэффициент амп­литуд ы.

Динамический диапазон D_s, дБ, характеризует пределы изменения мгновенной мощности и определяется выражением:

D_s=10lg(p_max/p_min),

где pmax максимальное, а pmin - минимальное значение мгновенной мощности, определенные каким-либо способом. Например, за минимальную мощность, если ее трудно определить, принима­ется мощность шума или допустимая среднеквадратическая по­грешность.

Коэффициентом амплитуды сигнала К²_А называется отношение его максимальной мощности к средней. В логарифмических еди­ницах, дБ,

K²_A=10lg(pmax/P) (2.33)

В некоторых случаях динамический диапазон и коэффициенты амплитуды определяются не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в «разах»).

Длительность и ширина спектра с и г н а л а. Под длительностью сигнала понимают интервал времени его сущест­вования. Вычисляется как разность между временем окончания сигнала t₂ и временем его начала t_1:

Dt₃

Ширина спектра — это интервал частот, занимаемый спектром сигнала. Вычисляется как разность между максимальной частотой спектра сигнала fmax и минимальной fmin'

Df₃=fmax-fmin

Вычисление длительности и ширины спектра сигнала не вызы­вает трудностей, если сигнал имеет четко выраженные начало и конец, а спектр — граничные частоты. Но из преобразования Фурье следует, что если сигнал имеет конечную длительность, то спектр его бесконечный. И наоборот. В этом случае необходимо условиться об определении длительности и ширины спектра.

В практике применяются различные определения, выбор кото­рых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спект­ра. В некоторых случаях выбор даже произволен. Наибольшее применение нашли следующие способы определения Dt_s и Df_s.

1. Отсчет на заданном уровне от максимального. Обычно дли­тельность импульсного сигнала и ширину его спектра определяют на уровне 1/ от максимального значения соответственно s(t) или F(w). Но можно выбрать для вычислений любой другой уро­вень, например 5% максимального, как показано на рис. 2.18.

2. Энергетический способ. За длительность сигнала (ширину спектра) принимают такой интервал времени (частот), в который попадает заданная часть полной энергии сигнала, например 0,9
или 0,95.

3. Замена реального сигнала (спектра) равновеликим прямо­угольным. Такая процедура показана на рис. 2.19, где изображе­на спектральная плотность мощности случайного сигнала Gx(f). Площади прямоугольника и фигуры, ограниченной кривой Gx(f)

Рис. 2.18. Определение ширины Рис. 2.19. К определению

спектра на заданном уровне эффективной ширины спект-

ра методом равновеликого прямоугольника

Из рисунка следует, что ширина спектра, называемая эффективной.

Числовые характеристики сигналов и помех широко использу­ются в электросвязи. По энергетическим характеристикам опре­деляется требуемое превышение сигнала над помехой, по ширине спектра сигнала устанавливается полоса пропускания канала электросвязи, необходимая для неискаженной передачи. Для не­прерывных первичных сигналов ширина спектра определяется обычно опытным путем (см. § 2.9). Для импульсных сигналов приопределении ширины спектра можно воспользоваться важней­шим положением теории сигналов: если oзначает ширину спек­тра некоторого сигнала длительностью Dt_s то всегда имеет место соотношение

Df_sDt_s ≈ μ (2.34)

где μ — постоянная величина, порядка единицы (μ≈1) для видео-

импульсов и порядка двух (μ≈2) для радиоимпульсов. Смысл

єтого соотношения состоит в том, что ширина спектра сигнала обратно пропорциональна его длительности.