Составление расчетной схемы к заданию №2

Для расчета задания студент получает от преподавателя индивидуальную карточку (рис.16). Электрическая схема, составленная по данным этой карточки, показана на рис.17. Она состоит из трех ветвей между узлами 0-1, 0-2, 0-3 и нагрузки, присоединенной к узлам 1, 2 и 3.

Источники ЭДС, активное сопротивление r, емкость С, индуктивность L, индуктивно связанные катушки (обозначаемые в таблице домашнего задания “ L _кат”) включаются последовательно в соответствующие ветви (например, Е ₁ и индуктивность L ₁ в первую ветвь между узлами 0-1, емкость C₂ и катушка “ L _кат2” во вторую ветвь между узлами 0-2 и т.д.). Индуктивно связанные катушки (в карточке задания L _кат2и L _кат3) обладают взаимной индуктивностью М. Индексы, стоящие при взаимной индуктивности
«М», указывают на номера индуктивно связанных катушек. Например, в карточке рис.16 запись М (2-3) =0.14 Гн означает наличие индуктивной связи между 2-й и 3-й катушками. В карточке указывается также направление намоток катушек. На рис.17 показана правая намотка 2-ой катушки и левая намотка 3-ей катушки.

Нагрузка в цепи симметрична и присоединена к узлам 1, 2, 3, тип соединения (треугольник, либо звезда) задан в карточке задания.

Два ваттметра подключаются непосредственно к зажимам ЭДС (схема Арона), как показано на рис.17.

Положительные направления ЭДС и токов в ветвях принять, как на рис.17.

2.2. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ № 2

1. Разметить одноименные зажимы индуктивно связанных катушек.

2. Составить для рассматриваемой цепи систему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений и в символической форме.

3. Сделать «развязку» индуктивных связей в цепи.

4. Рассчитать токи в ветвях символическим методом. Записать мгновенные значения токов.

5. Составить баланс мощности. Определить показания ваттметров.

6. Построить векторную диаграмму токов совмещенную с топографической диаграммой напряжений.

2.3. УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТУ

Если нагрузка соединена треугольником, её рекомендуется преобразовать в звезду. При этом сопротивление ветви треугольника (с учетом симметричности нагрузки) должно быть уменьшено в три раза. В рассматриваемом примере (рис.17) симметричная нагрузка, соединенная треугольником, имеет ёмкостный характер. С учетом этого, сопротивление ветви эквивалентной звезды определится соотношением:

где = 3×9,524 = 28,572 мкФ представляет собой емкость ветви эквивалентной звезды.

2.3.1. Разметка одноименных зажимов индуктивно связанных катушек.

Эскиз магнитной цепи с катушками и учетом направлений их намоток представлен на рис.18.

Разметка выполняется в такой последовательности:

а) задаются направлениями токов i ₂ и i ₃ в катушках в соответствии с рис.18;

б) по правилу правоходного винта определяется направление магнитных потоков Ф₂ и Ф₃, обусловленных протеканием токов i ₂ и i ₃ в катушках. В соответствии с этим правилом, вращение винта в направлении протекания тока i ₂ по виткам катушки L _кат2, определяет направление магнитного потока Ф₂, совпадающего с направлением поступательного движения винта. (В примере рис.18 вращение винта по часовой стрелке предопределяет его поступательное движение слева направо). Вращение правоходного винта в направлении протекания тока i ₃по виткам катушки L _кат3 (против хода часовой стрелки) предопределяет его поступательное движение справа налево. В этом же направлении ориентирован и магнитный поток Ф₃ (см. рис.18).

Характер взаимной ориентации магнитных потоков, порождаемых МДС каждой из катушек, позволяет оценить, какие зажимы катушек являются одноименными.

Согласно этому правилу, на рис.18 одноименные зажимы катушек обозначены звездочкой (*). Только при такой ориентации одноименных зажимов, как показано на рис.18, втекание токов i ₂ и i ₃ в эти зажимы приводит к суммированию потоков само- и взаимоиндукции в каждой из катушек.

Полученная после разметки зажимов катушек расчетная схема представлена на рис.19 (ваттметры на схеме не показаны).

2.3.2. Система уравнений по законам Кирхгофа рассчитаем

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в мгновенной и в символической форме (соотношения для токов и напряжений на элементах схемы в мгновенной и символической формах приведены в таблице 2) следует иметь в виду:

Таблица 2

№ п/п	Тип элемента и обозначения	Соотношения между напряжением и током
Для мгновенных значений	В символической форме
	Активное сопротивление «r»		U _r=r· I _r
	Емкость «С»		U _С =-jx _C∙ I _C, где -емкостное сопротивление [Ом], ω=2π f -круговая частота сети [с^-1], С -емкость сети [Ф], f -частота сети [Гц]
	Индуктивность «L»		U _С=jx_L∙ I, где x_L= ω∙ L -индуктивное сопротивление [Ом], L - индуктивность [Гн]
	Индуктивно связанные катушки * - одноименные зажимы при согласном включении катушек, * - одноименные зажимы при встречном включении катушек.	, , «+» для согласного включения, «-» для встречного включения.	U ₁ =jx_L ₁ · I ₁ ± jx_M ₁₂ ∙ I ₂, U ₂ =jx_L ₂ · I ₂ ± jx_M ₁₂ · I ₁, где x_M ₁₂ = ω ·M ₁₂– сопротивление взаимной индуктивности [Ом], М ₁₂- взаимная индуктивность между первой и второй катушкой [Гн].
	ЭДС «е»	e (t) =E_m sin ( ω t+ φ _e), E_m - амплитудное значение ЭДС.	Комплекс действующего значения E = , E -действующее значение ЭДС.

а) число уравнений равно числу ветвей;

б) при составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа для контуров, содержащих элементы с магнитной связью необходимо руководствоваться следующим:

При расчете электрической цепи ЭДС само- и взаимоиндукции учитываются как напряжения и записываются в соответствующую часть уравнений Кирхгофа. При этом, если катушки включены согласно (токи индуктивно связанных катушек ориентированы одинаково относительно одноименных зажимов), то напряжения само- и взаимоиндукции в них имеют одинаковые знаки, если встречно, то знаки напряжений само- и взаимоиндукций противоположны. Для схемы, представленной на рис.19, уравнения (5) по первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений (с учетом согласного включения индуктивно связанных катушек) имеют вид:

(5)

Уравнения по второму закону Кирхгофа составлены с учетом обхода контуров в направлении движения часовой стрелки (показано пунктирной стрелкой). При составлении системы уравнений (5) для мгновенных величин удобно пользоваться таблицей 2.

Система уравнений (5) для мгновенных величин может быть представлена в символической форме записи (см. таблицу 2):

(6)

При этом интегро-дифференциальные уравнения (5) преобразуются в алгебраические. В уравнениях (6): , , .

Система уравнений (6) наглядно показывает, что представление синусоидальных функций времени комплексными изображениями (символами) позволяет существенно упростить расчет цепи. На рис.20 изображена исследуемая схема в символическом представлении.

Примечание. Уравнения (6) можно составить непосредственно по схеме замещения исходной схемы (рис.20) в символической форме.

2.3.3. Расчет токов символическим методом

Данный расчет можно проводить без «развязки» индуктивных связей по уравнениям (6). Однако, расчет рассматриваемой цепи может быть существенно упрощен, если воспользоваться «развязкой» индуктивно связанных элементов. При «развязке» индуктивных связей не принимается во внимание, согласно или встречно включены катушки. Ориентируются лишь на расположение одноименных зажимов магнитно-связанных катушек относительно узла, к которому они присоединены.

Рис.21

Рис.21 (а,б) иллюстрирует «развязку» магнитных связей для обоих случаев.

В результате развязки магнитных связей схема рис.20 принимает вид, показанный на рис.22.

Наиболее просто полученная схема рассчитывается методом узловых потенциалов. Если принять потенциал j ₀ равным нулю, то уравнение для узла «0₁» по методу узловых потенциалов будет иметь вид:

, (7)

где Z ₁, Z ₂, Z ₃ - комплексные сопротивления отдельных ветвей схемы (рис.22):

Ом, (8)

, (9)

Ом. (10)

С учетом (8) ¸ (10) уравнение (7) приобретает вид:

. (11)

Определив из уравнения (11) потенциал узла «0₁»

В,

можно рассчитать комплексы токов в ветвях схемы (рис.22), используя закон Ома:

А,

А.

Проверка:

Найденные значения токов удовлетворяют первому закону Кирхгофа для любого из узлов рассчитываемой схемы:

I ₁ = - I ₂ - I ₃,

-1,1472+j4,749 = -1,1477+j4,75,

с погрешностью (как для мнимой, так и для действительной частей тождества) менее 0,2%, что свидетельствует о достаточной точности расчета.

2.3.4. Баланс мощности

Баланс полной мощности в комплексной форме представляется в виде

где - суммарная комплексная мощность источников ЭДС; - суммарная мощность потребителей;

и - комплексы напряжения и тока в комплексном сопротивлении Z _n;

- сопряженный комплекс тока, I_n – действующее значение тока (модуль комплексного тока).

Комплексные мощности источников и потребителей рекомендуется представить в алгебраической форме записи для оценки их активных и реактивных составляющих: .

Для рассматриваемого примера

ВА,

ВА.

Баланс активной мощности (оценка сверху) выполняется с погрешностью:

баланс реактивной мощности выполняется с точностью:

2.3.5. Показания ваттметров

Показания ваттметров следует определять по выражению , или по соотношению , где - комплексное напряжение на обмотке напряжения ваттметра; - сопряженный комплексный ток, протекающий по токовой обмотке ваттметра.

Для рассматриваемой схемы (рис.23):

В, А,

В, А.

Следовательно,

Вт,

Вт.

Литература

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А. Основы теории цепей.- М.: Энергия, 1989.

2. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи.-М.:Энергия,1978, ч I

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. -М.: Высшая школа, 1973, ч.5.

4. Ионкин П.А. Теоретические основы электротехники.- М.: Высшая школа, 1976, тI.

5. Каплянский А.Е. Теоретические основы электротехники.-М.: Высшая школа, 1972.

6. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. -М.: Энергии, 1981, ч.2.

_______________________________________________________________________________________________

Приложение 1

ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра ТОЭ

Задание № ______

___________________________________________________________

(название расчетно-графического задания)

Факультет__________________ Группа_____________________ Студент_____________________ Дата выполнения____________

Отметка о защите_____________________ Преподаватель________________________

Новосибирск _________

_______________________________________________________________________________________________

Приложение 2

Рекомендуемая форма представления результатов расчета задания №1

Результаты расчета

Методы расчета

Расчетные величины

1. Метод контурных токов

I ₁

I ₂

I ₃

I ₄

I ₅

I ₆

2. Метод узловых потенциалов

φ₁

φ₂

φ₃

φ₄

I₂

3. Метод наложения

I ₃

4. Метод эквивалентного генератора

R _в_x

U _xx

I ₄

5. Баланс мощности

Р _ген

Р _потр

где

I _1, I ₂, I _3, I _4, I _5, I ₆- значения токов в ветвях схемы,
φ₁, φ₂, φ₃, φ₄ - значения потенциалов узлов схемы,
- составляющая тока I₃ от действия источника тока,
, - составляющие тока I₃ от действия источников ЭДС,
R _в_x - входное сопротивление схемы относительно ветви с сопротивлением R ₄,
U _xx - напряжение холостого хода относительно ветви с сопротивлением R ₄,
Р _ген. - мощность, генерируемая источниками энергии,
Р _потр. - мощность, потребляемая в схеме.

Рекомендуемая форма представления результатов расчета задания №2

Результаты расчета

Методы расчета	Расчетные величины
1. Символический	Z ₁	Z ₂	Z ₃	U ₀₂₀	I ₁	I ₂	I ₃

2. Баланс мощности	Р _ген	Q _ген	Р _потр	Q _потр

3. Показания ваттметров	P_W ₁	P_W ₂

где

· Z ₁, Z ₂, Z ₃ - комплексы сопротивления ветвей исследуемой цепи после «развязки» магнитных связей,

· U ₀₁₀ —комплекс разности потенциалов узловых точек рассматриваемой схемы,

· I ₁, I ₂, I ₃)—комплексы токов в ветвях с сопротивлениями Z ₁, Z ₂, Z ₃,

· Р _ген– активная мощность, генерируемая источниками ЭДС,

· Q _ген – реактивная мощность, генерируемая источниками ЭДС,

· Р _потр – активная мощность, потребляемая в схеме,

· Q _потр – реактивная мощность, потребляемая в цепи,

· P_W ₁, P_W ₂ – показания ваттметров,

_______________________________________________________________________________________________

Приложение 3

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАБОТЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

1. Комплексные числа (К.Ч.) используются для расчета символическим методом установившихся режимов в линейных электрических цепях при действии гармонических источников энергии.

2. Комплексному числу в алгебраической форме А =a+jb или в показательной форме А =Аe^j ^φ соответствует точка на комплексной плоскости М (a, jb).

Из рис.29 видно, что при переходе от алгебраической формы к показательной справедливы соотношения, получаемые из прямоугольного треугольника:

модуль К.Ч. А =; (14)

аргумент К.Ч. , (15)

или (16)

При обратном переходе от показательной формы к алгебраической:

действительная часть К.Ч. (17)

мнимая часть К.Ч. (18)

3. Из анализа приведенных формул следуют важные соотношения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) если φ = 0, А =a;

е) если φ = 90 ⁰, А =jb;

ж) если φ =± 180 ⁰, A =-a;

з) если φ =- 90 ⁰, A =-b;

Сложение и вычитание комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме, а умножение и деление – в показательной. Поэтому необходимо уметь переходить от одной формы к другой.
Перевод К.Ч. из алгебраической формы в показательную.

Задано A =a+jb, получить A =Ae^j ^φ. В основе требуемого перевода лежат формулы (14,15 или (15,16).

Расчет по заданным формулам удобнее всего вести на микрокалькуляторах, имеющих функции «arcsin», «arcos» или «arctg». Не следует забывать, что значения аргументов указанных функций должно находиться в пределах (-90°) ÷ (+90°). Для этого действительная часть комплексного числа должна быть больше нуля. Например, если заданно число A =- 4 +j 3, его следует привести к виду А =-( 4 -j 3 ), и затем все операции проводить с числом в скобках.

Контрольные примеры:

· 4 -j 3 = ;