Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из электронных представлений

Закон Ома.

Средний путь, проходимый свободно движущимися электронами между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки называется средней длинной свободного пробега . Среднее время между двумя столкновениями (определяется скоростью хаотического движения). При наличии поля направленная скорость электронов накапливается за время свободного пробега и к моменту следующего соударения достигает максимальной величины:

.

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее за пробег значение равно половине максимального значения.

Плотность тока:

Коэффициент пропорциональности между и обозначим ( - проводимость). В результате получим закон Ома в локальной форме (параметры относятся к данной точке сечения проводника).

Плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности электрического поля . Коэффициентом пропорциональности является проводимость. (Замечание. Сравним полученную формулу с известной . Проводимость обратно пропорциональна удельному сопротивлению . Плотность тока . Напряженность поля ( - длинна проводника). Тогда , или , что и требовалось.)

Закон Джоуля – Ленца.

К концу свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, среднее значение которой равно:

(Напомним: ).

Столкнувшись с атомом, электрон, по предположению, полностью передает приобретенную им энергию кристаллической решетке. Сообщенная решетке энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляясь в его нагревании.

Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем соударений. Обозначим число электронов проводимости в единице объема , тогда полная энергия, переданная электронами за единицу времени в единице объема будет равняться:

.

Зная, что в результате получим закон Джоуля – Ленца в локальной форме:

Тепловая мощность, выделяющаяся в единице объема при протекании электрического тока пропорциональна квадрату напряженности поля.

Переходя от и к и : (, ), получим , или

Получили другую форму закона Джоуля – Ленца. (Объемная плотность тепловой мощности равна произведению удельного сопротивления на квадрат плотности тока).