Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вытекающей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей (ветвей связей). Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из p – pит – q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями. Их получают с помощью второго закона Кирхгофа.

Для того, чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введём понятие контурных токов, сопротивлений, Э.Д.С.

Контурный ток Ik – это расчётная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.

Сопротивление контура Rk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.

Сопротивление ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими или взаимными сопротивлениями контуров (Rkj).

Алгебраическая сумма Э.Д.С. данного контура называется контурной Э.Д.С. (Еk).

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений с контурными токами:

- в заданной схеме выбирают направление токов в ветвях (произвольно);

- строят граф схемы, переходят к дереву графа схемы, определяют независимые контуры и направления контурных токов;

- определяют контурные Э.Д.С., собственные и взаимные сопротивления контуров;

- записывают исходную систему уравнений и решают её любым известным способом.

Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис.3

R1=30 Ом, R2=20 Oм, R3=20 Ом, R4=40 Ом, R5=60 Ом, R6=40 Ом, R7=10 Ом, J7=0,4 A, E3=4 В, Е6=16 В.

Для графа схемы (рис.4) выбираем дерево (ветви 2-5-3-7). Образуем главные контуры, присоединив к ветвям дерева по одной ветви связи.

Далее находим:

- контурные ЭДС

ЕІ = -Е3 = -3 В;

ЕI I = Е6 + Е3 + R7I7 = 18 + 3 + 10*0,4 = 25 В;

ЕIII = Е4 = 4 В;

- сопротивления контуров: RI = R1 + R2 + R3 = 70 Ом; RII = R3 + R5 + R6 + R7 = = 130 Ом; RIII = R2 + R4 + R5 = 120 Ом;

- общие сопротивления контуров: RI-II = R3 = 20 Ом; RI-III = R2 = 20 Ом; RII-III = R5 = 60 Ом.

Записываем исходную систему уравнений

которую решаем на ПЭВМ

; ; .

Токи ветвей равны разнице соответствующих контурных токов, при этом учитываем, что ток ветви, которая принадлежит только данному конту- ру, равен контурному току. Отсюда следует, что

Анализируя (5), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть их есть алгебраическая сумма членов, один из которых равен произведению RkIk, а остальные – произведениям контурных токов других контуров на Rkj; правая часть контурного уравнения содержит только один член – контурную ЭДС (Еk).

Методом контурных токов следует пользоваться, если число узлов схемы q, уменьшенное на единицу, больше числа k взаимонезависимых контуров: q-1>k.

2.3. Метод узловых потенциалов

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, удобно использовать узловые напряжения, т.е. напряжения узлов рассматриваемой цепи относительно базисного, потенциал которого принимается равным нулю. Для определения неизвестных узловых напряжений записывают q – pин - 1 уравнений электрического равновесия цепи, называемых узловыми. Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве переменных используются неизвестные напряжения (потенциалы) относительно базисного, называется методом узловых напряжений (потенциалов). Метод основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома для обобщенной ветви (рис. 5).

Закон Ома для обобщенной ветви:

Рис.5

Если ветвь содержит только пассивные элементы и источники ЭДС (рис. 6), то обобщенный закон Ома имеет вид

где ΣЕ – алгебраическая сумма ЭДС в ветви; Rab – сумма сопротивлений в ветви и Gab=1/Rab.

Введем новые понятия. Сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных данному узлу, называется собственной узловой проводимостью Gii. Сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла, называется общей узловой (взаимной) проводимостью Gij. Узловым током Ji называется алгебраическая сумма токов источников токов и произведений ЭДС на соответствующие проводимости ветвей, присоединенных к узлу. С положительным знаком записывают токи и ЭДС, направленные к рассматриваемому узлу.

Порядок составления уравнений по методу узловых потенциалов:

- в заданной схеме намечают базисный узел и все независимые узлы; выбирают положительные направления узловых напряжений (от независимых узлов к базисному) и токов в ветвях;

- определяют узловые токи, собственные и узловые проводимости;

- записывают систему уравнений; в левой части уравнений слагаемые с собственной узловой проводимостью берут со знаком плюс, а слагаемые с общими узловыми проводимостями – со знаком минус;

- решают исходную систему уравнений любым известным методом.

В развернутой форме система уравнений имеет вид:

Пример: Найти токи ветвей электрической цепи (рис. 7) если

R1=R3=R4=10 Ом; R2=R5=5 Ом; R6=2 Ом; R7=1 Ом; E1=200 B; E2=80 B; E3=30 B; E6=38 B; E7=60 B.

Принимаем за базисный четвертый узел (рис. 7). Находим собственно узловые проводимости

Определим общие узловые проводимости

Рассчитываем узловые токи

Записываем систему уравнений

Решаем:

; ; .

Токи находим по закону Ома для обобщенной ветви (рис. 7 и 8).

Методы контурных токов и узловых потенциалов являются базовыми для анализа электрических цепей с источниками постоянных токов и ЭДС. На практике для формирования уравнений электрического равновесия используют метод, в котором приходится определять меньшее количество независимых переменных. При b – b_ИТ – q + 1 ≥ q – b_ИН - 1 рекомендуется применять метод узловых потенциалов, если это условие не выполняется, токи ветвей рассчитывают методом контурных токов.

Использование рассмотренных методов является целесообразным только в тех случаях, когда в результате анализа требуется определить все неизвестные токи или напряжения. При определении тока или напряжения одной или нескольких ветвей, используют методы, основанные на применении теорем электрических цепей.

2.4. Метод эквивалентного источника

Ток в одной из ветвей рассчитывают на основании теоремы об эквивалентном источнике (активном двухполюснике). Активную часть цепи, к которой присоединена ветвь с сопротивлением R, заменяют источником с ЭДС, равной напряжению Uхх на выводах разомкнутой пассивной ветви, и входным сопротивлением Rвх активной части цепи, или источником тока J=Ik (Ik равно току в короткозамкнутой пассивной ветви) и входной проводимостью Gвх активной части цепи. Ток и напряжения ветви

(9)

где

; ;

Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис. 9

Найти ток I2, протекающий по сопротивлению R2, если R1 = R4 = 4 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 6 Ом; R5 = 8Ом; E2 = 22 B; E4 = 13 B; J = 3 A.

Разомкнём цепь с резистором (рис. 10) и найдем напряжение U15 между точками 1-5. Для этого в схеме (рис. 10) определим токи ветвей. Сопротивления R1 и R5 включены последовательно, а по отношению к R3 параллельно, поэтому

Входное сопротивление относительно точек 1-5 (рис. 11)

и ток I2 по (9)

2.5. Баланс мощностей в электрических цепях

Анализ электрических цепей заканчивается, как правило, проверкой баланса мощностей. Суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи:

В левой части уравнения (10) записаны алгебраические суммы мощностей источников ЭДС и токов.

Источник энергии может быть представлен последовательной или параллельной схемой замещения (рис. 12), состоящей из источника ЭДС Е и внутреннего сопротивления Rвн или из источника тока J и внутренней проводимости Gвн.

У идеального источника ЭДС Rвн=0; он развивает мощность

Р=EI [Вт],

а у идеального источника тока Gвн=0; его мощность

P=UJ [Вт].

Для схемы, представленной на рис. 3, уравнение (10) имеет вид

Расчётно – графическая работа №1