Изображение синусоидальных функций вращающимися векторами

Как известно [1], синусоидальные функции времени можно графически изображать не только синусоидами (рис. 6, 7), но и вращающимися векторами.

В курсе тригонометрии приводится следующий способ построения графика синусоиды.

Радиус-вектор, длина которого равна амплитуде синусоиды I_m (рис. 8), вращают против часовой стрелки, проектируя его на вертикальную ось с одновременной разверткой по горизонтальной оси, на которой откладывают соответствующие углы поворота.

Рис. 8

На рисунке 8 показано построение одного периода синусоиды тока i = I_msinwt в пределах от t = 0 (wt = 0) до t = T (wt = 2 π). График на рисунке 8 соответствует случаю равенства нулю ψ_І = 0 начальной фазы, то есть синусоида начинается с нуля, уходя в область положительных значений.

Начальной фазой ψ синусоидальной функции называется значение фазового угла в момент времени t = 0.

Рис. 9

На рисунке 9 приведено построение полного цикла T (2 π) синусоиды i = I_msin (wt + ψ_І), у которой начальная фаза ψ_І > 0, то есть радиус-вектор I_m в момент времени t = 0 повернут относительно горизонтального положения на угол ψ_І = π /6 в положительном (против часовой стрелки) направлении.

На рисунке 10 показана векторная диаграмма напряжения U_m и тока I_m с различными начальными фазами ψ_U и ψ_I соответственно для промежутка времени t = 0 с последующей разверткой в графики синусоид u = U_msin(wt + ψ_U) и i = I_msin(wt + ψ_I).

Введем понятия о сдвиге фаз синусоид одной и той же частоты во времени. Применительно к рисунку 10 углом сдвига φ между напряжением и током называется разность начальных фаз соответствующих синусоид: φ = ψ_U – ψ_I.

С учетом положительного направления вращения векторов w > 0 (против часовой стрелки) является очевидным, что вектор напряжения U_m опережает вектор тока I_m на угол φ. Поскольку время t на оси абсцисс (рис. 10) отсчитывается слева направо, то сравнивая моменты прохождения одинаковых фаз синусоид напряжения и тока, можно убедиться, что напряжение опережает ток во времени на угол φ.

Рис. 10

Как видно из рисунка 10 синусоида напряжения по сравнению с синусоидой тока проходит раньше на угол φ через нулевые значения и фазу положительной амплитуды.

Как уже упоминалось, все основные законы электротехники, сформулированные применительно к цепям постоянного тока [2], для цепей переменного тока справедливы только для мгновенных токов, напряжений и э.д.с. Рассмотрим простейший электрический узел (рис. 11), являющийся одним из участков цепи синусоидального тока. Стрелками условно показаны направления токов, чтобы было возможно пользоваться правилом знаков (плюс – минус) при алгебраических операциях с мгновенными значениями синусоидальных функций времени. Предположим, что заданы синусоиды токов i ₁= I_{m 1} sin(wt + ψ ₁) и i ₂= I_{m 2} sin(wt + ψ ₂), а необходимо определить синусоиду суммарного тока i. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа в алгебраической форме для мгновенных значений:

(8)

i – i ₁– i ₂ = 0 Þ i = i ₁ + i ₂ = I_{m 1} sin(wt + ψ ₁) + I_{m 2} sin(wt + ψ ₂) = I_msin(wt + ψ),

то есть решение сводится к определению амплитуды I_m и начальной фазы ψ суммарной синусоиды i.

Эта задача решается аналитически с достаточно высокой точностью получаемых результатов. Такой метод расчета, основанный на алгебраических операциях с мгновенными значениями синусоид, называется аналитическим. Недостатком этого метода является усложнение расчетных операций, если число слагаемых синусоид увеличивается. Поэтому был предложен графический метод, основанный на геометрическом сложении векторов, изображающих синусоидальные токи, напряжения и э.д.с. одинаковой частоты (метод векторных диаграмм).

Покажем этот метод применительно к простейшему электрическому узлу (рис. 11), рассмотренному выше с позиций аналитического метода.

Изобразим слагаемые синусоиды для момента времени t = 0 в виде векторов и с учетом начальных фаз ψ ₁ и ψ ₂ и соблюдением одинаковых масштабов (рис. 12). Очевидно проекции этих векторов на вертикальную ось i (ось мгновенных значений) при вращении их против часовой стрелки с угловой скоростью w и при одновременной развертке по горизонтальной оси времени t (или фазового угла wt) позволяют построить графики соответствующих синусоид. Осуществим векторное суммирование по правилу треугольника или диагонали параллелограмма (рис. 12). Поскольку векторы и построены для момента времени t = 0, то их проекции на вертикальную ось i ₁= I_{m 1} sinψ ₁ и i ₂= I_{m 2} sinψ ₂ представляют собой мгновенные значения при t = 0. Спроецировав на ту же ось вектор , получим мгновенное значение тока i = I_msinψ, которое в соответствии с теоремой о векторной сумме равно алгебраической сумме проекций слагаемых векторов i = i ₁ + i ₂. Таким образом можно утверждать, что можно заменить алгебраические операции с мгновенными значениями синусоид геометрическим сложением векторов, изображающих эти синусоиды.

Рис. 12

Векторной диаграммой называется совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции токов, напряжений и э.д.с. одинаковой частоты, которая, как правило, представляет собой графическое решение первого или второго закона Кирхгофа.

В отличие от аналитического метода метод векторных диаграмм (графический) является более простым и наглядным. Недостатком этого метода является невысокая точность результатов при необходимости в численных расчетах.