Применение мнк к моделям нелинейным относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени y=a0+a1x+a2x2+? Заменяя переменные x=x1,x2=x2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+?

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

[pic], т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к

следующей системе нормальных уравнений:

[pic][pic] Решение ее возможно методом определителей:

[pic] [pic] [pic]

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия [pic]min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции [pic] МНК применяется к преобразованному уравнению lny = ln? +? ln x ln?.

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах.[pic] Соответственно если в линейных моделях [pic] то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, [pic].

Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.

Коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей.

1. Линейная y = a + bx + [pic], y' = b, Э = [pic].

2. Парабола 2 порядка y = a +bx + c[pic] +[pic], y' = b + 2cx, Э = [pic].

3. Гипербола y = a+b/x +[pic], y'=-b/[pic], Э = [pic].

4. Показательная y=a[pic], y' = ln [pic], Э = x ln b.

5. Степенная y = a[pic][pic], y' = [pic], Э = b.

6. Полулогарифмическая y = a + b ln x +?, y' = b/x, Э = [pic].

7. Логистическая [pic], y' = [pic], Э = [pic].

8. Обратная y = [pic], y' = [pic], Э = [pic].