2015-05-27
2188
Вначале эти методы вырабатывались, накапливались и выделялись в ходе решения задач на вычисление объемов, площадей, центров тяжестей и т. п. Древние задачи Архимеда пересматривались вновь и вновь, изучались его инфинитезимальные методы, выяснялись их математические возможности. Интеграционные методы складывались в то время как методы определенного интегрирования. Процесс формирования и внедрения в математику этих методов был очень бурным и скоротечным; уже через 50—60 лет со времени появления первых работ он привел к образованию интегрального исчисления.
Самым ранним по времени опубликования методом этого типа был метод непосредственного оперирования с актуальными бесконечно малыми величинами. Появился он в 1615 г. в сочинениях Кеплера. Он посвятил практически всю свою жизнь изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609—1619 гг. открыл законы движения планет, носящие и поныне его имя: 1) Планеты движутся по эллипсам; Солнце находится в одном из его фокусов; 2) Радиусы-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные секториальные площади; 3) Квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца. Формулировка этих законов показывает, что для математического доказательства их справедливости недостаточно владения известной в то время вычислительной техникой, знания конических сечений и алгебраических средств. Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этого умения требовали и другие задачи практического характера.
Кеплер изложил свой метод использования бесконечно малых величин в сочинении «Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии» (1615). Состоит оно из трех частей; для нас наибольший интерес представляет первая, теоретическая часть. Начинается она со «Стереометрии правильных кривых тел». Это — просто пересказ сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре». Кеплер принимает античный метод исчерпывания, которым пользовался Архимед, называет его глубоким, но отбрасывает заключительный этап приведения к противоречию. Основная идея метода, по мнению Кеплера, состоит в том, что любая фигура или тело представляется в виде суммы множества бесконечно малых частей. Круг, например, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый из которых может рассматриваться как равнобедренный треугольник. Все треугольники имеют одинаковую высоту (радиус круга), а сумма их оснований равна длине окружности. Таким же образом шар оказывается составленным из бесконечного множества конусов, вершины которых сходятся в центре шара, а основания образуют поверхность шара. Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер распространяет и на другие несложные геометрические фигуры и тела (конусы и цилиндры) и их части, рассмотренные у Архимеда.
От правильных кривых тел Архимеда Кеплер переходит к изучению тел, образованных вращением круга около прямой, не проходящей через его центр, а также вращением других конических сечений. Всего он рассмотрел 92 вида тел вращения. Метод вычисления объемов тел вращения и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело делилось на бесконечное число частиц, занимающих равноправные положения в теле. Эти части тела перегруппировывались, образуя другое тело, объем которого возможно вычислить. Если непосредственное суммирование оказывалось невозможным провести, то выделенные частицы предварительно заменялись другими частицами, эквивалентными данным.
Методы Кеплера в определении объемов тел вращения, разумеется, были нестрогими. Это было ясно и ему самому и «его современникам. Тем не менее плодотворность суммирования элементов, взятая Кеплером у Архимеда, была очевидной. Первая же попытка создать регулярный алгоритм оперирования с бесконечно малыми стала весьма популярной. Многие ученые посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого метода и рациональному разъяснению возникающих при этом понятий. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретенная Кавальери.
Кавальери Бонавентура (1598—1647), ученик Г. Галилея, происходил из знатного рода. Знаток античных авторов, он в то же время глубоко изучал высказанные Галилеем и Кеплером идеи создания исчисления неделимых. Кавальери разработал метод неделимых, который должен был стать универсальным методом геометрии. Основные положения метода приведены в работах «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» и «Шесть геометрических опытов» (1647).
Метод неделимых изобретен для определения площадей плоских фигур и объемов тел. Как фигуры, так и тела представляются составленными из элементов, имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведенных параллельно некоей направляющей прямой. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две парные касательные плоскости. Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая читателям представить паука, непрерывно ткущего геометрию из неделимых. Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие определенного интеграла. Однако логические трудности, связанные с пониманием неделимого, составления площадей из линий, не имеющих ширины, и тел из бесконечно тонких плоскостей и т. п. не дают еще возможности судить о совокупностях всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден рассматривать отношения тел и фигур, ограничиваясь случаями, когда отношения неделимых постоянны. Таким образом, сущность геометрии неделимых Кавальери можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел) равно этому отношению.
Метод неделимых позволил решить множество трудных задач, ранее не поддававшихся решению. Однако у этого метода были свои недостатки. Во-первых, он был непригоден для измерения длин кривых, так как соответствующие неделимые (точки) оказывались безразмерными. Во-вторых, неясность понятия неделимого, невозможность его рационального объяснения явно говорило о необоснованности теории. Тем не менее определенное интегрирование в форме геометрических квадратур в первой половине XVII в уже зарекомендовало себя. Все усилия отныне были направлены на уточнение его и на достижение возможно более общих результатов.
Паскаль (1623—1662), например, рассматривал квадратуры в форме, близкой той, которая употребляется Кавальери. Попытка уточнения состояла в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида ∑уdx). Важное усовершенствование геометрических квадратур было проделано Ферма, который ввел деления квадрируемой площади ординатами, отстоящими друг от друга на неравных расстояниях. Математики первой половины XVII в. с большим удивлением и энтузиазмом убеждались, какое большое количество, казалось бы, разнородных задач геометрии и механики приводилось к квадратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом все более выявлялась общность операций, которые приходилось применять при решении этих задач. Геометрический эквивалент определенного интегрирования, возникший как специфический метод геометрии, частично воспринятый от Архимеда, постепенно приобретал черты общего метода математики.
Идеи, включающие элементы определенного интегрирования, широко распространились среди математиков западноевропейских стран. Методы интегрирования охватывали к 60-м годам XVII в. обширные классы алгебраических и тригонометрических функций.
