Решение. Пусть х1 – количество акций «МИЗУР-1», а х2 – количество акций «МИЗУР-2»

1 2 3 4 5 6

Пусть х₁ – количество акций «МИЗУР-1», а х₂ – количество акций «МИЗУР-2».

Согласно условию:

5*x₁ + 3*x₂ 25000 – клиент хочет вложить не более 25000$.

x₁ +x₂ 6000–максимальное количество акций обоих типов 6000 шт.

x₁ 5000, x₂ 5000 –максимальное количество акций одного типа 5000 шт.

1,1* x₁+0,9* x₂ –прибыль от владения акциями

Таким образом, экономико-математическая модель имеет вид.

F(x) =1,1* x₁+0,9* x₂ → mах

При следующих ограничениях:

5x₁ + 3x₂ 25000 - I

x₁ +x₂ 6000- II

x₁ 5000 – III

x₂ ≥ 5000 IV

x₁ ≥ 0 V

x₂ ≥ 0 VI

Этап 1. Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решений уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 5x₁ +3 x₂ = 25000.

Данной прямой принадлежат точки: при х₁ = 0; х₂ = 8333.33 т.е. точка с координатами (0;8333.33) и при х₂ = 0; х₁ = 5000 т.е. точка с координатами (5000; 0)

Построим прямую по двум точкам (0;8333.33) и (5000; 0). На графике обозначим эту прямую цифрой I.

Множество решений строгого неравенства есть одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. В качестве контрольной точки возьмем начало координат 0 < 25000. Неравенство выполняется. Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом определим ОДР других неравенств.

Прямой x₁ +x₂ = 6000 принадлежат точки х₁ = 0 х₂ = 6000 (0; 6000) и х₂ = 0 х₁ = 6000 (6000; 0)

Построим прямую по двум точкам (0;6000) и (6000; 0). На рисунке обозначим эту прямую цифрой II. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость, т.к. 0 < 6000 (неравенство выполняется). Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя.

Прямая x₁ =5000 параллельна оси ОУ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой III. Множество решений неравенства левая полуплоскость.

Прямая x₂ =5000 параллельна оси ОХ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой IV. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость.

x₁ ≥ 0 V и x₂ ≥ 0 VI Означает, что решение системы неравенств находится в первой координатной четверти.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины буквами АВСДО. Так как ОДР ограниченна, то функция имеет максимум и минимум.

Найдем координаты этих точек:

Точка А с координатами (0;5000) т.е. А(0;5000)

Точка В находится на пересечении прямых II и IV следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:

x₁ + x₂ = 6000

x₂ = 5000

Решая эту систему уравнений находим координаты точки В

х₂=5000

x₁=1000

В(1000;5000)

Точка C находится на пересечении прямых I и II следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:

5x₁ + 3x₂ 25000 - I

x₁ +x₂ 6000- II

Решая эту систему уравнений находим координаты точки C

3х₁+3х₂=18000

5х₁+3х₂=25000

3х₁+3х₂-5х₁-3х₂=18000-25000=-7000

-2х₁=-7000

х₁=3500

х₂=6000-3500=2500

C(3500;2500)

Координаты точки Д находятся на пересечении прямой II с осью координат входящей в ОДЗ, а именно (5000;0)

Д (5000;0)

Находим значения целевой функции в этих точках

F(A) = 1,1*0+0,9*5000=4500

F(B) = 1,1*1000+0,9*5000=5600

F(C) =1,1*3500+0,9*2500=6100

F(Д) = 1,1*5000+0,9*0=5500

Этап 2.

Приравниваем целевую функцию постоянной величине «а»:

1,1x₁ +0,9x₂ = а

это уравнение – множество точек, в которых F(x) принимает значения равное «а», получим семейство параллельных прямых каждая из которых называется линией уровня.

Пусть а = 0.

Вычислим координаты двух точек G (3600;-4400), О (0;0), построим прямую ОG.

Этап 3.

Для определения направления движения к оптимальному плану построим вектор – градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. С (С₁;С₂); С(1,1;0,9).

Построим вектор, соединив точки (1,1; 0,9) с началом координат.

При максимизации целевой функции необходимо передвигать линию уровня в направлении вектора градиента, а при минимизации в противоположном. Последняя точка ОДЗ, которую пересечет линия уровня и будет точкой максимума (или соответственно минимума).