Дисперсия случайной величины

Случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Например,

Математические ожидания равны.

Возможные значения Y близки к M (Y), возможные значения Х далеки от своего M (X) то есть для характеристики случайной величины математического ожидания недостаточно, нужна характеристика рассеивания, т.е. разброса значений случайной величины, например в артиллерии важно насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Наиболее полной характеристикой разброса чисел является набор их отклонений от математического ожидания. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.

Размах – слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение».

Для любого набора, если только не все числа в нем равны, часть отклонений будет положительна, а часть отрицательна. При этом сумма отклонений равна 0.

В этом состоит основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от математического ожидания этих чисел равна нулю.

Сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равна нулю и его нельзя использовать как меру разброса.

Чтобы судит о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а не от их знаков. Чем больше отклонения чисел от математического ожидания, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией (то есть разброс данных). Обозначим значения случайной величины x ₁, x ₂,..., x_n, а математическое ожидание этих значений – буквой М.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D(X) = M(X – М(Х))².

Дисперсию дискретной случайной величины Х удобно вычислять по формуле: