Математическое ожидание

Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M (X) = x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂ +...+ x_np_n – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х.

Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.

Решение.

Случайная величина является дискретной, т.к. принимает конечное множество значений. По определению математического ожидания получаем:

Пример 2. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.

Решение:

Построим закон распределения случайной величины Х – размера выигрыша.

Х
Р

Математическое ожидание случайной величины Х равно:

Для того чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб. (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб.). Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.

Механическая интерпретация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x ₁, x ₂,..., x_n, в которых сосредоточены массы p ₁, p ₂,..., p_n, причем , то М(Х) – абсцисса центра тяжести.

Математическое ожидание находят для однородных величин.

Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.