Объяснение нового материала

1. Определение критических точек функции.

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

3. Признак максимума функции, признак минимума функции (достатчное условие существования экстремума в точке).

4. Записать правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

а)найти область определения функции;

б)найти производную f '(x);

в)найти точки, в которых выполняется равенство f '(x) =0;

г)найти точки, в которых f '(x) не существует;

д)отметить на координатной прямой все критические точки и область

определения функции y=f(x); получатся промежутки области определения

функции, на каждом из которых производная функции у= f(x) сохраняет

постоянный знак;

е)определить знак у' на каждом из промежутков, полученных в п. (д);

ж)сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из

критических точек в соответствии с достаточным условием экстремума.

5. Исследовать на экстремум функцию у= 2х³ -15х²+36х+1

Решение:

а) D(y) =R;

б) y'= 6х²-30х+36;

в)из уравнения 6х²-30х+36=0 находим х₁=2, х₂=3;

г) y' существует при всех х;

д)отметим точки х₁=2, х₂=3 на координатной прямой:

+ - +

2 3 х

е)у' = 6(х-2)(х-3). Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке;

ж)при переходе через точку х=2 слева направо производная у' меняет знак с «+» на «-», значит х=2- точка максимума; при переходе через точку х=3 производная у' меняет знак с «-» на «+», значит, х=3- точка минимума. В точке х=2 имеем у_max =29; в точке х=3 имеем у_min=28.