2015-05-27
304
ЛЕКЦИЯ №5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Задачи электротехники, приводящие к вычислению
определенных интегралов
Круг задач электротехники, в которых необходимо вычислять определенные интегралы, широк и многообразен. Остановимся на электрических цепях переменного тока, в частности, на цепях синусоидального и несинусоидального переменного тока.
Синусоидальными называются токи (напряжения, ЭДС), величина которых изменяется во времени по синусоидальному закону
, (5.1)
где Im - амплитудное (максимальное) значение тока;
- угловая частота, равная 
,- где Т - период одного
колебания в секундах;
- фаза колебания;
- начальная фаза колебания, т. е. фаза при t = 0.
Очень часто, если в электрической цепи содержатся элементы, сопротивление которых зависит от величины или направления тока в ней, напряжения и токи (см. главу 1, раздел 1.1) становятся несинусоидальными. В случае как синусоидальных, так и несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС, их принято сравнивать по двум основным характеристикам - среднему и действующему (эффективному) значению.
Среднее значение тока (аналогично напряжения и других электрических величин) определяется следующим образом:
(5.2)
где 
- интервал времени, за который рассчитывают среднее значение.
При синусоидальных токах и напряжениях 
, то есть берется только одна полуволна синусоиды (см. рис.1.4). Если в цепи стоят выпрямители (см. модель электромагнита), то необходимо знать величину выпрямленного тока. В этом случае 
, то есть периоду несинусоидального тока (см. рис.1.3).
Тепловое и механическое действие переменного тока определяется действующим или среднеквадратичным его значением, определяемым следующим образом:
. (5.3)
Для синусоидального тока соотношение между действующим и амплитудным значением тока легко определяется аналитически и хорошо известно: 
. Если форма тока несинусоидальная, то расчет интегралов (5.2) и (5.3) аналитически провести чаще всего сложно. Если же мы не имеем аналитического выражения для соответствующей функциональной зависимости, а только результаты расчетов или эксперимента в виде таблицы значений аргумента и функции, аналитический расчет становится невозможным. Приходится в таких случаях прибегать к численным методам расчета средних и действующих значений электрических величин. Это, как следует из сказанного выше, сводится к расчету определенных интегралов.
