Методы прямоугольников

Методы прямоугольников основаны на аппроксимации подынтегральной функции f(x) полиномом нулевого порядка, т.е. константой. В зависимости от того, какое из значений функции на интервале интегрирования является узлом аппроксимации, различают методы левых, правых и средних прямоугольников (рис.5.2, 5.3).

Формула для вычисления интеграла по методу прямоугольников имеет вид:

(5.6)

где h - шаг интегрирования, R= J_точн -J_прибл - погрешность интегрирования.

Значение аргумента x_m зависит от метода. Для левых прямоугольников x_m =x_i, для правых - x_m =x_i+1, для средних - x_m =x_i + h/2.

Метод левых и метод правых прямоугольников имеют сравнительно высокую погрешность R, главный член которой R₀ имеет следующий вид:

(5.7)

где h - шаг интегрирования; (x) - первая производная подынтегральной функции; [x_n,x₀] - интервал интегрирования.

Погрешность метода средних прямоугольников определяется по формуле

(5.8)

где h - шаг интегрирования; (x) - вторая производная подынтегральной функции; [x_n,x₀] - интервал интегрирования.

Степень шага h, которой пропорциональна величина R₀, называется порядком метода интегрирования. Методы левых и правых прямоугольников имеют первый порядок, а метод средних прямоугольников - второй порядок. Это означает, что с уменьшением шага в 2 раза погрешность метода левых и правых прямоугольников уменьшится в 2 раза, а средних - в четыре.

Как видно (рис.5.2,5.3.), метод средних прямоугольников требует знания подынтегральной функции в средней точке i-го интервала аргумента. При использовании опытных данных или результатов вычислительного эксперимента это означает, что для построения N средних прямоугольников требуется дополнительно иметь N значений функции по сравнению с методами левых и правых прямоугольников при том же шаге аргумента. Если использовать N значений аргумента, то шаг в методе средних прямоугольников увеличивается в два раза.

Во время практических занятий предлагается, изменяя количество расчетных точек, оценить точность методов прямоугольников и их относительную погрешность, взяв за базу аналитический расчет.

Метод трапеций

Если в методах прямоугольников функцию f(x) на участке [x_i,x_i+h] заменяют константой, то в методе трапеций f(x) заменяют полиномом первой степени: P₁(x) = a₀+a₁x. Как правило, прямую проводят через значения функции на концах интервала интегрирования h. В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции (рис. 5.4,a):

(5.9)

Главный член погрешности метода трапеций равен

. (5.10)

Как видно, метод трапеций при принятом выборе проведения аппроксимирующей прямой имеет большую по абсолютной величине погрешность, чем метод средних прямоугольников.

Метод парабол

Если подынтегральную функцию f(x) заменить полиномом второй степени - параболой P₂(x) = a₀+a₁x+a₂x², проходящей через узлы x_i-1, x_i, x_i+1, то получим метод парабол, или метод Симпсона (рис.5.4,б). Не делая промежуточных выкладок, приведем окончательную формулу вычисления интеграла методом парабол:

. (5.11)

Как следует из формулы (5.11), количество узлов функции в методе Симпсона должно быть 2N+1, где N - количество суммируемых криволинейных фигур.

Главный член погрешности в методе парабол равен:

. (5.12)

Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод парабол.