Бета-функция Эйлера

Наряду с гамма-функцией Эйлер ввел в науку и другой интеграл, который обозначается

и называется бета-функцией. Это несобственный интеграл второго рода, зависящий от двух параметров и .

Свойства бета-функции:

1). Бета-функция определена при любых .

2). Симметричность:

3). Формула понижения: если , то .

Следствие. Если , то .

Бета-функция выражается через гамма-функцию по формуле:

.

Интеграл Пуассона

1. Интеграл вероятности (он же интеграл Пуассона).

.

Замена преобразует интеграл к виду

.