Гамма-функция Эйлера

Вопрос 10.

Гамма-функция и бета-функция Эйлера, их свойства.

Интеграл Пуассона.

Гамма-функция Эйлера

Рассмотрим интегралы, появление которых обязано математику Леонарду Эйлеру, родившемуся в Швейцарии, но большую часть жизни работавшему в России при Петербургской Академии наук.

Поставим задачу: найти выражение для несобственного интеграла при любом натуральном n.

Проинтегрируем его по частям:

.

Таким образом, получаем рекуррентную формулу:

.

Аналогично,

, ,

и так далее до

.

Тогда

. (1)

Эйлер распространил эту формулу на все положительные n – не только натуральные. И он определил «обобщенный факториал» формулой

. (2)

Функция была названа гамма-функцией Эйлера. Она представляет собой несобственный интеграл, зависящий от параметра p.

Свойства гамма-функции:

1). Гамма-функция определена при любом .

2). Формула понижения: .

3). Формула дополнения: .

Следствие. Из формулы дополнения при получаем: , откуда . Тогда по формуле понижения находим:

,..., .