Вопросы к экзамену. (2 семестр) Первообразная функция и неопределенный интеграл

(2 семестр)

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
3. Непосредственное интегрирование. Операция «подведения под дифференциал».
4. Метод подстановки.
5. Интегрирование по частям.
6. Интеграл вида ; ; ; .
7. Интегрирование элементарных дробей.
8. Разложение рациональной дроби на элементарные.
9. Интегрирование дробной рациональной функции
10. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
11. Интегралы вида ; ; .
12. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
13. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
14. Интегральная сумма. Геометрический смысл интегральной суммы.
15. Понятие определенного интеграла.
16. Основные свойства определенного интеграла.
17. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
18. Интегрирование нечетных и четных функций в симметричных пределах.
19. Несобственные интегралы I и II рода. Признаки сходимости для несобственных интегралов I рода и II рода.
20. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление объема тела вращения, вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление площади поверхности вращения.
21. Физические приложения определенного интеграла: вычисление координат центра тяжести, путь пройденный точкой, работа переменной силы.
22. Двойной интеграл, основные понятия: интегральная сумма, двойной интеграл, достаточное условие интегрируемости функции.
23. Геометрический смысл двойного интеграла. Простейшие свойства двойного интеграла.
24. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах.
25. Геометрические приложения двойного интеграла (объем тела и площадь плоской фигуры).
26. Криволинейный интеграл I рода, основные понятия.
27. Условие существования криволинейного интеграла I рода. Основные свойства криволинейного интеграла I рода.
28. Вычисление криволинейного интеграла I рода (3 случая задания кривой – параметрическим, явным образом и в полярных координатах).
29. Криволинейный интеграл II рода, основные понятия.
30. Условие существования криволинейного интеграла II рода. Основные свойства криволинейного интеграла II рода.
31. Вычисление криволинейного интеграла II рода (2 случая задания кривой – параметрическим и явным образом).
32. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
33. Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда, достаточное условие расходимости ряда.
34. Достаточные признаки сходимости рядов: признаки сравнения рядов, признак сходимости Даламбера, радикальный признак сходимости Коши, интегральный признак сходимости Коши. Обобщенный гармонический ряд.
35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
36. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
37. Функциональный ряд и его область сходимости. Степенной ряд, его сходимость, теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
38. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
39. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).
40. Некоторые приложения степенных рядов: приближенное вычисление значений функции, приближенное вычисление определенных интегралов.