Доказать, что модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации

1)

2) Выносим во второй скобке множитель i за знак скобки. Используем соотношения Коши-Римана ®

т.е. .

3) Т.к. имеем

4)

10. Доказать, что характеристическая функция F(z) = Az описывает прямолинейно-параллельное течение. Найти массовую скорость.

1) А = А₁ + iA₂ 2)

3) потенциальная функция jи функция тока y

4) семейство эквипотенциальных линий: А₁х – А₂y = С — эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A₁/А₂.

5) семейство линий тока: А₁у + А₂х = С^{** —} линии тока – прямые с угловым коэффициентом (- A₂А₁ ).

11. Доказать, что характеристическая функция F(z) = Alnz описывает плоскорадиальное течение. Найти массовую скорость.

1) z = х +i y = r (cos θ + i sin θ ) = re^{i θ}

2) F(z) = A In (re^iθ) = A In r + iA θ.

3) j=Alnr; y=A θ. Уравнения эквипотенциальных линий – ν =const: концентрические окружности с центром в начале координат. Уравнения линии тока – θ = const: прямые, проходящие через начало координат.

4) Массовая скорость равна производной от характеристической функции . Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е^{-i θ}.Следовательно .

5) Для плоскорадиального потока , ,