Доказательство. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис

Теорема.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство.

Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника.

3. Дано:АД=√3
АВ=3 см.
Найти:_САВ; _ДАС;
Решение:
1)_ДАС;
tgДАС=ДС/AB=3/√3=√3=60Градусов,=>_CАВ=30градусов.

Билет № 4

1.Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.Сумма углов четырёхугольника 360*.

2. Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: окр (О; ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА
Доказать: р – касательная к окр (О; ОА).
Доказательство
По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Ч. т. д.

3. Пусть ABCD - произвольный треугольник

Точки M, N, K, L - середины сторон AB, BC, CD, AD

MN - средняя линия треугольника ABC, значит MN=0,5*AC и MN||AC

KL - средняя линия треугольника ACD, значит KL=0,5AC и KL||AC

Отсюда

MN=KL и MN||KL,

то есть MNKL - параллелограмм

Билет № 5

1.Свойство 1. Площадь фигуры является неотрицательным числом.

Свойство 2. Площади равных фигур равны.

Свойство 3. Если фигура разделена на две части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей образовавшихся частей.

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры,она параллельна третьей стороне и равна её половине. Дано:
DABC, ED - средняя линия

Доказать:
EDчч AB,
ED=1/2 AB

Доказательство:

Пусть DE-средняя линия DABC.
Через (Ч) D проведем прямую b, bччAB.
По теореме Фалеса b З AC=E - в его середине, т. е. DEМb. Следовательно DE чч AB.
Проведем теперь среднюю линию DF ЮDFчч АС.
DFчч АС, DE чч ABЮ четырехугольник AEDF - параллелограмм.
По свойству параллелограмма ED=AF, а так как AF=FB (по построению DF - средняя линия), то ED=1/2 AB.
Теорема доказана.

3.

Дано:

Найти:

Решение:

Ответ: 20см

Билет № 6

1.Трапеция
Определение: Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Определение: Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Определение: Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:
ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
Признаки трапеции:
Четырёхугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Формулы площади:
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
S = lh

2. Да, так как правило гласит "отрезки касательных к окружности, пооведённые из одной точки, равны и состаляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку в центр окружности ".

3. Доказываем подобие треугольников по 3-му признаку...

АВ = ВС = АС

А1В1 В1С1 А1С1

подставляем числа

3 = 5 = 7 2

4.5 =7.5 = 10.5 и =3

Билет № 7

1. прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства: диагонали прямоугольника равны.

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны нафиг! Диагонали квадрата равны, взаимно перпендекулярны и точкой пересечения делятся пополам и делят его углы пополам.

2.Угол, вершина которого лежит на окружности, а сторону пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.

Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором
АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1/2 / АОС.

Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.

Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'.

3.

Билет № 8

1.Ромбом называется параллелограмм,у которого все стороны равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Квадратом называется прямоугольник,у которого все стороны равны
Все углы квадрата прямые
Диагонали квадрата равны,взаимно перпендикулярны,точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

2. Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.)

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Прямоугольные треугольники AMH и AMK равны по гипотенузе и острому углу (AM – общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MH = MK. Теорема доказана.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит к^2=300/75=4, к=2 =>

искомая сторона равна 9:2=4,5 (см)

Билет № 9

1. Квадрат- прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ромб, у которого все углы прямыею

Прямоугоник, в котором диагонали делят все углы пополам.

Промогульник,у которого диагонали между собой перпендикулярны.

ПРИЗНАКИ:

Все углы равны и =90

Противоположные стороны и углы равны

диагонали точкой пересечения делятся пополам

стороны попарно паралельны

сумма углов прилежащих к одной стороне=180

сумма углов=360

2.Любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов. Доказательство: Пусть AB - отрезок, C - его середина, и H - произвольная точка на серединном перпендикуляре. Тогда углы HCA и HCB прямые, HC = HC, AC = BC. Значит, треугольники ACH и BCH равны. Следовательно, их стороны AH и BH равны. Что и требовалось доказать.

3. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).24*24+10*10=676 676/4=169 корень квадратный 169 равен 13

Билет № 10

1. Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

2.Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
2)Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

3. Путься трапеция прямоугольная и угол DAB прямой. Тогда двумя меньшими сторонами являются стороны AB и BC и они равны по 6 см, опустим перпендикуляр из С к стороне AD. у нас получится квадрат ABCD. У квадрата все углы равны 90 градусов. По условию известно, что больший угол равен 135, большим углом является угол BCD, следовательно угол OCD равен 135-90=45. угол CDO равен 180-90-45=45. у треугольника COD два угла равны, следовательно, он является равнобедренным и сторона CO=OD=6см. Теперь вернемся к нашей трапеции, AO+OD=12 см

Площадь трапеции равна произведения полусуммы оснований на высоту. Тоесть (6+12)/2*6=54см^2

Билет № 11

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Медианы пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих.

2. Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый.
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a • h. Теорема доказана.

3.

Ррпрпрп

Билет № 12

1. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

Теорема Фалеса:

· Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне угла пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

· В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов, т.е. .

· В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, т.е. , .

· В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, т.е. .

· В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

2.Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный (AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

3. диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам,значит 2 из 4 треугольника будут равносторонними,их основания,являющиеся боковыми сторонами прямоугольника, равны 5.

т.к. в равностороннем треугольники стороны равны то диагональ будет равна 10

в получившемся прямоугольном треугольнике найдём вторую сторону прямоугольника:

Билет № 13

1. Если все стороны четырехугольника касаются некоторой окружности, то он называется описанным четырехугольником. Свойства описанного четырехугольника:

• Площадь равна S=pr, где p=

a+b+c+d

• =a+c=b+d;
• Биссектрисы углов пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в четырехугольник окружности.

2.Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный ромб. Диагонали ромба пересекаются в точке O.
По свойству параллелограмма AO = OC, значит BO – медиана Δ ABC. А так как треугольник ABC - равнобедренный, то по свойствам медианы равнобедренного треугольника проведенной к основанию, BO является также высотой и биссектрисой. Значит прямая BO ⊥ AC и ∠ ABO = ∠ CBO. Теорема доказана

3. сумма углов равна 360 градусов, 360 делим на 12 (1+2+4+5), находим чему равна 1 часть (30 градусов), находим углы 1*30=30, 2*30=60, 4*30=120, 5*30=150

Билет № 14

1.Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

2. ЭТА Кароч формулы площади треугольника

3. Параллелограмм АВСД, ВН биссектриса на АД, АН=14, НД=7, АД=14+7=21=ВС

Треугольник АВН равнобедренный угол АНВ=углу НВС как внутренние разносторонние=

=углу АВН (ВН-биссектриса), АН=АВ=СД=14

Периметр = 21+21+14+14=70

Возможен другой вариант

Периметр = 21+21+7+7=56

Билет № 15этА Конец

1.Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

2.

S	=	a + b	h

3. По порядку.
Раз треугольник равнобедренный - мы вправе провести медиану(она же биссектриса и высота в данном случае)
тоесть, основание окажется разделённым пополам, тоесть2Х 5 см.
Получаем 2 прямоугольных треугольника.
один катет-5см, Гипотенуза - 13, надо найти второй катет(тоесть длинну той самой высоты)
По Пифагору - 13в квадрате =5 вквадрате +икс в квадрате
икс в квадрате= 169-25=144
икс =12
Высоту 12 умножаем половину основы 5 = 60.
а поскольку таких треугольников два - то делить на 2 не надо, это и есть ответ - 60 см. кв.(ЭТА ТОЖЕ КаНеЦ)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!