Математическая обработка информации

Нет ничего более практичного,

чем хорошая теория.

Л. Больцман

Поскольку мы имеем, как правило, дело со стохастическими величинами, необходимо найти не только среднеарифметическое значение изучаемого параметра, но и возможные отклонения от среднего значения. В математической статистике применяется не разность отклонений, а квадрат разности, т.к. при возведении в квадрат любое число дает положительную величину. Вместо (m_i – m₀) для определения среднего отклонения принимают (m_i – m₀)². Тогда среднеквадратичное отклонение будет:

.

Если число членов математического ряда меньше 30, то среднеквадратическое отклонение находя по формуле:

.

Величина «G» характеризует абсолютную изменчивость ряда и всегда получается в абсолютных величинах. Для возможности сравнения статистических рядов в отношении их изменчивости необходимо выразить величину «G» в долях от m₀, то есть

.

Относительное среднеквадратическое отклонение от среднеарифметического значения ряда называется коэффициентом вариации.

Любой математический ряд характеризуется, помимо m₀ и C_v, коэффициентом асимметрии. Ряд называется асимметричным, если положительные и отрицательные отклонения членов ряда от среднеарифметического повторяются одинаково часто.

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле:

При С_s = 0 кривая ряда симметрична и называется кривой Гаусса.

Взаимозависимость между двумя величинами выражается простыми арифметическими уравнениями и математическими кривыми. Например, популярность парка среди населения города (что проявляется в посещаемости объекта ландшафтной архитектуры) легко прослеживается на рис. 10.

Рис. 10. Взаимозависимость двух изучаемых параметров

Эту динамику можно отразить и на столбчатой диаграмме (рис. 11).

Рис. 11. Динамика посещаемости парка за последние 5 лет

Под такие простые зависимости легко подобрать уравнения простых прямых или кривых (парабола, синусоида и др.) и, пользуясь ими, делать соответствующие прогнозы.

Однако нередко мы сталкиваемся с взаимозависимостью трех величин. Например, в социальной практике это ярче всего проявляется между такими параметрами:

m – размер пенсии;

q – уровень личностной тревожности пенсионеров;

ω – уровень их социальной активности.

В практике ландшафтной архитектуры пример трехзвенной зависимости может быть таким:

m – число объектов показа;

q – подробность и эстетика оформления аншлагов у каждого

объекта показа;

ω – посещаемость прогулочной функциональной зоны парка.

Взаимосвязь 3-х величин (m, q, ω) вычисляется по уравнению регрессии типа:

ω = 0,01m + 0,24q – 21,51,

в котором константы надо установить математическим методом с помощью вспомогательной формы (табл. 10).

Среднеквадратичное отклонение исследуемых рядов стохастических величин вычисляются по формулам:

,

,

,

где n – число членов математического ряда (генеральная совокуп-

ность наблюдений);

G – среднеквадратичные отклонения исследуемых рядов стохас-

тических величин;

ω, q, m – изучаемые параметры.

В итоге вычерчивается график общеизвестного типа (рис. 12).

Таблица 10

Выявление взаимосвязи трех величин

№№ пп или объектов

q

ω

m

± ∆q

± ∆ω

± ∆m

∆q2

∆ω2

∆m2

± ∆q·∆ω

± ∆q·∆m

± ∆ω·∆m

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Рис. 12. Взаимозависимость трех исследуемых величин

Стандартная ошибка измерений:

,

а при большом числе измерений .

Оптимальное значение ошибки находится в пределах 2÷3%.

Оценка полученных результатов:

Средняя квадратичная ошибка уравнения регрессии:

Средняя квадратичная ошибка совокупного коэффициента корреляции:

Вероятная ошибка коэффициента корреляции:

Совокупный коэффициент корреляции:

Если знак коэффициента корреляции сохраняется в обоих случаях (R_max= R+E_R и R_min= R-E_R), то корреляционная зависимость является доказанной (чем меньше Е_R, тем связь эта более тесная).