Глава 2. Основы квантовой механики

2.1Физические основы квантовой механики

Классическая механика. Зависимость энергии от импульса в релятивистском случае. Нерелятивистская механика. Функция Гамильтона и фазовая траектория гармонического осциллятора. Электродинамика. Плоская монохроматическая волна. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. Квантовая теория света. Гипотеза М. Планка. Явление фотоэффекта. Гипотеза А.Эйнштейна. Эффект Комптона - рассеяние рентгеновского излучения на свободных электронах. Гипотеза Де-Бройля. Ограниченность положений классической физики.

2.2 Волновой пакет

Фазовая и групповая скорость. Зависимость волнового пакета от координаты и времени. Пространственная локализация волнового пакета. Временн а я локализация волнового пакета. Оценка времени расплывания волнового пакета.

2.3. Введение в квантовую механику

Волновая функция. Физический смысл волновой функции. Принцип суперпозиции. Физический смысл волновой функции. Основные постулаты квантовой механики. Операторы в квантовой механике. Волновая функция свободной частицы. Явный вид оператора импульса в квантовой механике. Собственные значения операторов. Математическое ожидание (среднее значение физической величины). Принцип дополнительности Н.Бора.

2.4. Свойства операторов, имеющих дискретный спектр. Волновая функция в координатном представлении. Уравнения на собственные функции и собственные значения оператора . Разложение произвольной волновой функции по собственным функциям оператора , имеющего дискретный спектр. Ортонормированность собственных функций оператора , имеющих различные значения индексов и . Выражение для коэффициентов разложения произвольной функции по собственным функциям оператора . Полнота функций . Нормировка волновой функции в представлении. Средние значения операторов , имеющих дискретный спектр. Вероятность получения результатов измерений физической величины . Дисперсия физической величины в квантовой механике.

2.5. Свойства операторов, имеющих непрерывный спектр. Волновая функция в координатном представлении. Уравнения на собственные функции и собственные значения оператора , имеющего непрерывный спектр. Разложение произвольной волновой функции по собственным функциям оператора , имеющего непрерывный спектр. Ортогональность собственных функций оператора , имеющих различные значения индексов и . Выражение для коэффициентов разложения произвольной функции по собственным функциям оператора . Полнота функций . Нормировка волновой функции в представлении. Средние значения операторов , имеющих непрерывный спектр. Вероятность получения результатов измерений физической величины . Дисперсия физической величины в квантовой механике.

2.6. Свойства операторов в квантовой механике. Линейность операторов квантовой механики. Коммутатор двух операторов. Комплексно сопряженный оператор. Транспонированный оператор. Эрмитово-сопряженный оператор. Эрмитов (самосопряженный оператор). Обратный оператор. Унитарный оператор.

2.7. Теорема о вещественности собственных значений эрмитового оператора. Теорема об ортогональности собственных функций эрмитового оператора. Теорема о полноте собственных функций эрмитового оператора. Необходимое и достаточное условие одновременной измеримости двух физических величин в квантовой механике.

2.8. Матричное представление операторов в квантовой механике. Определение матричных элементов оператора F. Выражение для среднего значения физической величины через матричные элементы оператора F. Диагональный вид матрицы оператора в собственном представлении. Свойства матриц. Обратная матрица. Свойства матричных элементов эрмитовых операторов. Шпур матрицы. Инвариантность шпура относительно циклической перестановки операторов. Дираковские обозначения.