Глава 3. Уравнение Шредингера в квантовой механике

3.1.Уравнение Шредингера. Действие в классической и в квантовой механике. Волновая функция свободной частицы. Оператор импульса. Оператор кинетической энергии. Явный вид уравнения Шредингера. Разделение переменных для волновой функции, в случае, когда гамильтониан не зависит от энергии. Поведение волновой функции во времени. Стационарное уравнение Шредингера для нахождения собственных функций и собственных значений энергии.

3.2 Оператор производной по времени. Необходимое и достаточное условие сохраняющейся величины в квантовой механике. Явный вид оператора скорости и оператора ускорения в квантовой механике.

3.3.Плотность тока вероятности. Вид оператора Гамильтона в системе из N частиц. Уравнение непрерывности в квантовой механике. Инфинитное, полуфинитное и финитное движение в механике и квантовой механике. Доказательство теоремы о том, что средняя энергия финитного движения в квантовой механике больше, чем минимальное значение потенциальной энергии.

3.4. Соотношение неопределенностей для физических величин. Коммутаторы операторов. Теорема, позволяющая вычислить произведение дисперсий для некоммутирующих операторов. Коммутатор проекций координат и импульсов. Полный набор физических величин. Полный набор операторов.

3.5. Одномерное движение. Прямоугольная яма. Дискретный спектр. Решение уравнения Шредингера для одномерной прямоугольной ямы. Трансцендентное уравнение для нахождения спектра частицы в потенциале прямоугольной потенциальной ямы. Четные и нечетные состояния.

3.6. Одномерное движение. Непрерывный спектр. Прямоугольный барьер. Коэффициент надбарьерного отражения для частицы с энергией . Коэффициент подбарьерного отражения для частицы с энергией .

3.7 Линейный гармонический осциллятор. Потенциальная энергия линейного одномерного осциллятора. Решение уравнения Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Спектр энергий. Волновые функции. Полиномы Эрмита. Нормировка волновой функции.

3.8 Линейный гармонический осциллятор. Операторы рождения и уничтожения. Действие оператора уничтожения на волновую функцию. Действие оператору рождения на волновую функцию. Гамильтониан уравнения Шредингера гармонического осциллятора, выраженный через операторы рождения и уничтожения.

3.9 Квазиклассическое приближение. Критерий применимости приближения. Правила квазиклассического квантования Бора-Зоммерфельда. Дифференциал числа состояний в фазовом пространстве.