Глава 1. Математический аппарат квантовой механики

Программа курса «КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

1.1. Элемент объема в декартовой системе координат, цилиндрической и сферической системе координат. Скалярное произведение векторов. Свойство символа Кронекера. Векторное произведение векторов. Двойное векторное произведение.

1.2 Операция градиента в декартовой системе координат, цилиндрической и сферической системе координат Операция дивергенции и ротора в декартовой системе координат. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Стокса.

1.3. Гамма функция. Значения гамма функции для целых значений аргумента и дробных значений аргумента. Значение интеграла в полубесконечных пределах от произведения любой степенной функции на экспоненциальную функцию со сложным степенным аргументом.

1.4. Дельта-функция Дирака. Непрерывные представления дельта-функции. Разложение дельта функции в интеграл Фурье. Ортогональность одномерных и трехмерных плоских волн с разными волновыми векторами. Ортогональность двух монохроматических волн с различными частотами.

1.5. Разложение в интеграл Фурье произвольной функции одной переменной. Свойства Фурье компонент вещественных функций. Равенство Парсеваля. Разложение в интеграл Фурье произвольной функции трех переменных (разложение на плоские волны).

Действие операторов градиента, дивергенции и ротора на интеграл Фурье. Пример разложение в интеграл Фурье потенциала точечного заряда.

1.6. Ряды Фурье для разложения периодических функций, период которых равен Т. Ортогональность собственных функций с различными значениями дискретных частот. Равенство Парсеваля для разложения периодических функций с конечным периодом.

1.7. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью функций Грина. Физический смысл функции Грина. Функция Грина уравнения Пуассона . Решение задачи об экранированном заряде в максвелловской плазме. Функция Грина уравнения . Функция Грина . Расходящиеся сферические волны.

1.8. Производящая функция для полиномов Лежандра. Явный вид полиномов Лежандра с L=0,1,2. Собственные значения уравнения для полиномов Лежандра. Явный вид сферических гармоник , , , . Ортогональность сферических гармоник. Уравнение для сферических гармоник.