Понятие множества

Глава 2. Элементы теории множеств. Теоретико-множественные основы математической обработки информации.

Понятие множества.

До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д.— всё это чисто бытовые обороты речи). Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).^[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

В современной математике понятие множества считается одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векторы, тигры, функции, … Даже сами множества могут объединяться во множества: например, математики говорят про множество фигур на плоскости, про множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Плодотворность теоретико-множественной концепции математики заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

Опр.2.1.1. Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.) без повторений.

1) Множество учебников по математике.

2) Множество студентов в группе.

3) Множество преподавателей в аудитории.

4) Множество точек плоскости.

Опр.2.1.2. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).

Пример. Множество { дни недели } состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

«…Самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы» [Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М. Учпедгиз, 1948].

Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись а Î А означает, что а есть элемент множества А.

Запись 4Ï{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Пример. Если A – множество { дни недели }, то пятница Î A, а апрельÏ A.