Способы задания множеств

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет.

Основными способами задания множеств являются:

· перечисление всех его элементов: А={1, 3, а, с}, В={река Волга, город Москва, планета Меркурий};

· задание множества описанием свойств элементов: А={множество успевающих студентов 1 курса}.

· описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={хÎN: х/2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два. В такой форме можно задавать любые (и конечные, и бесконечные) множества.

Примеры. 1) { х: х ² − 3 х + 2 = 0} – множество корней уравнения х ² − 3 х + 2 = 0 Это конечное множество.

2) { r: r = q/p, где p и q – целые числа, q ≠ 0} – множество рациональных чисел. Это бесконечное множество.

3) {студент филологического. факультета: отличник} – множество отличников на филологическом факультете.

4) Задайте перечислением элементов множества, заданные характеристическим свойством:

А) А = {n: n Î N, 3 ≤ n ≤ 12},

В) В = {х: х Î R, –3 ≤ х ≤ 4}

С) C = {х: х2 – 3х + 2 = 0}.

Решение: А) А={множество натуральных чисел, заключенных между 3 и 12}, отсюда следует А = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

В) Если В = {х: х Î R, –3 ≤ х ≤ 4}, то В — отрезок [–3; 4].

С) Если С = {х: х2 – 3х + 2 = 0} — множество корней квадратного уравнения, то С = {1; 2}.

5) Задайте характеристическим свойством множества:

1) всех правильных многоугольников;

2) параллельных прямых;

3) всех натуральных чисел, кратных 5.

Решение: 1){многоугольники с равными сторонами и равными углами};

2) {прямые, не имеющие общих точек};

3) {5n: n Î N}.

Опр.2.1.6. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Примеры. 1) A есть множество корней уравнения х ² + 5 х + 4 = 0, B есть множество, состоящее из двух элементов: –1 и –4, A = B.

2) Все теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, – это теорема о совпадении двух множеств. Например: «Для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны».

3) В городе в течение некоторого времени совершено два похожих ограбления. Оказалось, что действовала одна и та же группировка. Если А – множество лиц, совершивших первое ограбление, а В – множество лиц, совершивших второе ограбление, то А = В.

Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через m (А).

Примеры. 1) А={а, b, c}, m (А)=3;

2) В={1, 2, 3, 1, 5, 3}, m (В)=4;

3) N={множество всех натуральных чисел}, m (N) = ∞.