Что есть множество

Теория множеств претендует на роль фундамента всей математики.

Множество – совокупность определённых, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающая некоторым общим свойством.

В приведённом определении имеется три важных момента, характеризующих понятие множества:

1) объекты, входящие во множество, определённые – т.е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет;

2) объекты, входящие во множество, различимы между собой – т.е. во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов;

3) все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое – т.е. во множестве абстрагируются от свойств отдельных объектов, но говорят об общем свойстве множества, как единого целого; такое общее свойство называют характеристическим.

Например, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Объекты, входящие во множество, называют элементами и их обозначают строчными буквами. Книги данной библиотеки, вершины данного многоугольника, натуральные числа, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным.

Если множество содержит конечное число элементов, то оно может быть задано перечислением его элементов. Элементы множества выписываются подряд, разделяются запятыми, заключаются в фигурные скобки; порядок записи при этом роли не играет. Например, множество А, состоящее из трёх букв а, б, в, может быть записано так:

А = { а, б, в }.

Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывается так: а Î А, и читается «а принадлежит множеству А», или «а входит в множество А». Запись а Ï А означает, что а не является элементом множества А.

Множество может содержать и всего лишь один элемент.

Множество может быть задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. При записи правило, задающее множество, отделяется вертикальной чертой. Например, пусть множество В есть множество решений уравнения x ² – 5 x + 6 = 0. Тогда можно записать так:

В = { x ½ x ² – 5 x + 6 = 0}.

Элементами множества В, корнями квадратного уравнения, являются числа 2 и3, т.е. В = {2, 3}.

Может оказаться, что множество определено таким свойством, которым не обладает вообще ни один объект. Рассмотрим, например, множество треугольников, длины сторон которых равны 1 см, 2 см, 5 см. Из геометрии известно, что треугольника с такими длинами сторон не существует, т.е. так определённое множество не содержит ни одного элемента. Множество решений системы уравнений также не содержит ни одного элемента. Говорят, что эти множества пустые. Пустое множество не содержит элементов, оно обозначается знаком Æ.